Приложение. Расчет отклика цепи на сложное воздействие

Рассмотрим задачу. Пусть в цепи, схема которой приведена на рис.П.1а, источник ЭДС меняется во времени по закону, график которого приведен на рис.П.2а. Как рассчитать, например, напряжение на индуктивности?

Эту задачу можно свести к анализу переходного процесса. Действительно, эту схему можно преобразовать к схеме с ключом (см. рис.П.1б): когда он разомкнут, это эквивалентно отсутствию в цепи источника напряжения, что соответствует интервалу на графике рис.П.2а. Когда он замкнут, – интервал на графике – в цепь включается постоянный источник ЭДС (рис.П.2.б). Таким образом, при решении этой задачи мы можем воспользоваться разобранным нами ранее методом анализа переходных процессов.

Пусть теперь ЭДС в той же схеме на рис.П.1а меняется по закону, приведенному на рис.П.2в. Теперь в цепи тоже будет существовать переходный процесс, и исходную схему на рис.П.1а также можно заменить эквивалентной схемой на рис.П.1б, но теперь уже ЭДС после коммутации не остается постоянной, а меняется по более сложному закону, отличному от гармонического. Использовать рассмотренный нами метод анализа переходных процессов теперь затруднительно, так как были рассмотрены лишь случаи постоянного и гармонического источников после коммутации.

Оказывается, что можно рассчитать отклик (напряжение на некотором элементе или ток в некоторой ветви) на произвольное сложное воздействие (меняющиеся во времени источник тока или ЭДС), если знать отклик на тестовое воздействие в виде единичного скачка источника тока либо ЭДС. Будем говорить, что функция (тока либо напряжения) меняется по закону единичного скачка, если

(П.1)

Назовем отклик цепи на единичный скачок (источника тока либо напряжения) переходной характеристикой , соответствующей искомой функции тока либо напряжения.

Покажем, что отклик линейной цепи на произвольное непрерывное воздействие может быть рассчитан по формуле:

. (П.2)

Для этого рассмотрим рис.П.3, на котором изображена зависимость входного воздействия от времени. Пусть необходимо найти отклик в момент времени . Можно заранее утверждать, что величина отклика в момент времени будет зависеть лишь от поведения функции на интервале Разобьем этот интервал на подынтервалы . При достаточно мелком интервале разбиения исходную непрерывную кривую можно аппроксимировать ступенчатой кривой, как показано на рисунке. Тогда приближенно можем записать:

, где - введенная функция единичного скачка. Откуда с учетом приближенного равенства найдем

. (П.3)

Реакцией цепи на сумму подобного вида в силу принципа суперпозиции для линейных цепей будет следующее выражение:

, (П.4)

где использовано понятие переходной характеристики линейной цепи.

Если устремить все интервалы разбиения к нулю: , то выражение (П.3) в пределе даст исходное воздействие , а выражение (П.4) – искомый отклик на заданное воздействие, которое совпадает с (П.2).

Выражение (П.2) называется интегралом Дюамеля в первой форме.

Рассмотрим теперь случай функции, имеющей разрывы первого рода (рис.П.4).

В этом случае необходимо отдельно от интегралов учесть скачки функции в точках разрыва:

. (П.5)

Замечание. Найденные формулы не пригодны для вычисления отклика на воздействие, функция которого имеет разрывы второго рода.

Существует также другое интегральное представление, основанное на понятии об импульсной характеристике.

Импульсной характеристикой называется отклик цепи на входное воздействие в виде - функции Дирака. На рис.П.5 показано, что - функцию можно ввести как предельный переход от функции - импульса конечной длительности и единичной площади.

Применительно к электротехнике будем обозначать - функцию как , считая ее одним из тестовых воздействий (наряду с единичным скачком ).

Можно показать, что отклик на непрерывное воздействие может быть найден, если известна импульсная характеристика цепи, по формуле:

(П.6)

Формула (П.6) представляет собой вторую форму интеграла Дюамеля.

Существует связь между переходной и импульсной характеристиками:

(П.7)

что следует из аналогичной связи между функциями и : .

Рассмотрим пример. Пусть цепь описывается схемой, приведенной на рис.П.6а. параметры элементов есть: , , зависимость задана графически (рис.П.6в). Необходимо найти напряжение на - .

Решение задачи состоит из двух этапов. На первом необходимо определить переходную характеристику цепи, в данном случае – функцию напряжения на резисторе при условии, что ЭДС источника меняется по закону единичного скачка (рис.П.6г).

Второй этап заключается в применении первой формы интеграла Дюамеля (П.2) и нахождении отклика на заданное сложное воздействие.

1 этап. Рассмотрим схему на рис.П.6б, где включен источник ЭДС, меняющийся по закону единичного скачка. В момент возникает переходный процесс. Применяя метод анализа переходных процессов классическим методом, найдем напряжение на резисторе - .

1.1. Определим установившуюся составляющую напряжения . После коммутации . Поэтому имеем режим постоянного тока. Следовательно, емкость эквивалентна разрыву, и мы получим по второму закону Кирхгофа:

.

1.2. Определяем свободную составляющую, предварительно составив характеристическое уравнение (при нахождении входного сопротивления делаем разрыв в ветви с емкостью):

.

.

1.3. Найдем независимое начальное условие - .

Так как до коммутации, т.е. при , , то , а по второму закону коммутации - .

1.4. Зависимое начальное условие определяется искомой функцией - . Из схемы видно, что напряжения на емкости и резисторе равны, поэтому . Таким образом, в данном случае зависимое и независимое начальные условия совпадают.

1.5. Определяем постоянную интегрирования и далее – искомую функцию :

.

Таким образом, нашли переходную характеристику: .

2 этап. Находим отклик на сложное воздействие .

Так как функция воздействия (рис.П.6в) имеет разрывы первого рода, то используем формулу, аналогичную (П.5):

При расчете по формуле интеграла Дюамеля в случае кусочно-непрерывной функции либо в случае функции, имеющей скачки (как в нашем случае) необходимо разбить временную ось на интервалы, в пределах каждого из которых функция воздействия непрерывна.

Интервал 1. : ; , , , так как на этом интервале , , , а переходная характеристика отлична от нуля только при положительном аргументе.

Интервал 2. : при ; ,

.

Интервал 3. : при ; при ;

После нахождения значений функции на всех интервалах, строят ее график. Построение графика по найденным на подынтервалах выражениям искомой функции можно провести, например, в пакете инженерных и научных расчетов Mathcad 2001i. Полученный при этом график функции приведен на рис.П.7.

Отметим два важных свойства, которым должен удовлетворять отклик цепи на произвольное (в пределах указанных нами ограничений) сложное воздействие.

Примечание 1. Отклик при рассмотренных нами ограничениях на вид входного воздействия всегда должен быть непрерывной функцией.

Примечание 2. Если функция входного воздействия финитна, т.е. отлична от нуля лишь на множестве конечной меры, то отклик в пределе при должен стремиться к нулю.