Сборник задач по дисциплине «теория принятия решений и управление рисками»
8 Семестр (2011 г.)
Список литературы
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике - М.: Финансы и статистика, 2000. - 368 с.
Моделирование рискованных ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб.пособие / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. - 2-ое изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 224 с.
Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. пособие. - М.: Дело, 2001. - 464 с.
Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений: Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во «Лань», 2001. - 384 с.
Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике: Учеб. пособие. - М.: Книжный дом «Университет», Высшая школа, 2002. - 288 с.
Силкина Г.Ю. Теория принятия решений и управление рисками. Модели конфликтов, неопределенности, риска: Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. - 72 с.
Просветов Г.И. Управление рисками: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. М.: Изд-во «Альфа-Пресс», 2008. – 416 с.
Шоломицкий А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска: Учеб. пособие. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. – 400 с.
Балдин К.В., Воробьев С.Н. Риск-менеджмент: Учеб. пособие. – М.: Гардарики, 2005. - 285 с.
Рыков А.С. Модели и методы системного анализа: принятие решений и оптимизация Учеб. пособие. – М.: МИСИС, 2005. – 352 с.
Силкина Г.Ю., Шевченко С.Ю. Модели и методы управления экономическими рисками. – СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2009. – 199 с.
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
1. Небольшая фирма выпускает два набора удобрений для газонов – обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 рубля, улучшенный – 4 рубля. Сколько наборов каждого вида следует купить, чтобы обеспечить питание почвы с минимальными затратами?
2. На имеющихся у фермера 400 акрах земли он планирует посадить кукурузу и сою. Посадка и сбор кукурузы требует на каждый акр 200 рублей, сои – 100 рублей. На покрытие расходов, связанных с посевом и сбором урожая фермер получил ссуду в 60 тыс. рублей. Каждый акр, засеянный кукурузой, приносит 30 кг урожая, а соей – 60 кг. Фермер заключил договор на продажу урожая, по которому каждый килограмм кукурузы принесет ему 3 рубля, а каждый кг сои – 6 рублей. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 т. Сколько акров фермер должен засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль?
3. Завод выпускает обычные станки и станки с ЧПУ, затрачивая на обычный станок 200 кг стали и 200 кг цветных металлов, на станок с ЧПУ – 700 кг стали и 100 кг цветных металлов. Завод может израсходовать в месяц до 46 т стали и до 22 т цветных металлов и имеет обязательное задание выпускать в месяц не менее 80 станков в совокупности. Сколько станков каждого типа должен выпустить завод за месяц, чтобы объем реализации был максимальным, если обычный станок стоит 1000 рублей, станок с ЧПУ – 5000 рублей?
4. На складе требуется разместить ящики трех типов А, В, С: не менее 33 ящиков А, не менее 36 ящиков В и не менее 39 ящиков С. Имеется возможность заказать стеллажи двух типов. Стеллаж первого типа вмещает 11 ящиков А, 7 ящиков В и 4 ящика С; стоимость стеллажа первого типа равна 30 рублей; стеллаж второго типа вмещает 3 ящика А, 5 ящиков В, 9 ящиков С и стоит 40 рублей. Сколько стеллажей каждого типа следует заказать, чтобы их общая стоимость была минимальной?.
5. Фирма «Морские прогулки» может приобрести большие катера вместимостью 18 человек и быстроходные глиссеры вместимостью 5 человек. Глиссер стоит 1100 рублей, катер – 1000 рублей. Фирма может истратить на покупку 165000 рублей и ожидает, что желающих покататься будет не меньше 900 человек. Сколько катеров и сколько глиссеров должна приобрести фирма, чтобы получить максимальный доход, если билет на глиссер стоит 1 руб. 80 коп., на катер – 1 руб., и фирма уже договорилась приобрести не менее 50 глиссеров?
6. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0.03% и с долей зольных примесей не более 3.25%. Доступны три сорта угля А, В, С, содержащие примеси фосфора в количестве 0.06%, 0.04%, 0.02% золы – 2%, 4%, 3%, по цене за тонну 30, 30, 45 рублей соответственно. В какой пропорции необходимо смешивать различные сорта угля, чтобы удовлетворить ограничения на примеси и минимизировать стоимость тонны смеси?
7. ЛПР должен выбрать место работы из 9 имеющихся вариантов, данные о которых приведены в таблице.
Варианты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
зарплата, руб. |
900 |
500 |
700 |
800 |
400 |
600 |
900 |
600 |
650 |
Отпуск, дни |
20 |
30 |
36 |
40 |
60 |
30 |
35 |
24 |
35 |
Время поездки, мин. |
60 |
20 |
40 |
50 |
15 |
10 |
60 |
10 |
40 |
В качестве основных критериев выбраны зарплата (З), длительность отпуска (Д), время поездки на работу (В). Построить множество Парето оптимальных решений и выбрать оптимальное решение
указанием нижних границ критериев, если зарплата должна быть не менее 600 руб., длительность отпуска – не менее 30 дней, время поездки – не более 40 мин.;
по критерию максимальной заработной платы при тех же границах остальных критериев;
лексикографической оптимизацией при следующей упорядоченности критериев . Как изменится ответ, если критерии упорядочены иначе: ; ?
8. При сравнении четырех объектов по некоторому критерию получена матрица сравнений . Определить приоритеты объектов, проверить согласованность.
9. Мартин – выпускник средней школы, который получил полную стипендию от трех университетов А, В, С. Мартин сформулировал два основных критерия: местоположение университета (L) и его академическая репутация (R). Будучи отличным учеником, он считает академическую репутацию существенно более значимой по сравнению с местоположением. Сравнением университетов А, В, С по критериям (R) и (L) получены матрицы ; . Обосновать оптимальный выбор Мартина и оценить согласованность решения.
10. Решается проблема распределения энергии в некоторой развитой стране между тремя ее крупнейшими пользователями: бытовым потреблением (БП), транспортом (ТР), промышленностью (ПР). Эти потребители сравниваются между собой по локальным критериям: вкладу в развитие экономики (Э), вкладу в качество окружающей среды (С) и вкладу в национальную безопасность (Б). Результаты сравнения заданы матрицами:
Э |
БП |
ТР |
ПР |
|
С |
БП |
ТР |
ПР |
|
Б |
БП |
ТР |
ПР |
БП |
1 |
3 |
5 |
|
БП |
1 |
2 |
7 |
|
БП |
1 |
2 |
3 |
ТР |
1/3 |
1 |
2 |
|
ТР |
1/2 |
1 |
5 |
|
ТР |
1/2 |
1 |
2 |
ПР |
1/5 |
1/2 |
1 |
|
ПР |
1/7 |
1/5 |
1 |
|
ПР |
1/3 |
1/2 |
1 |
Локальные критерии сравниваются между собой по их вкладу в общую глобальную цель – благоприятное социальное и политическое положение (БСПП), результаты сравнения задаются матрицей . Определить пропорции распределения энергии между потребителями.
11. Со студентом, только что получившим диплом, беседовали о трех возможных местах работы: А, Б, В. Он определил для себя для себя 6 основных критериев удовлетворения работой: исследовательская работа (И), перспективы роста (П), доходы (Д), местонахождение (М), коллеги (К), репутация (Р). Вклад каждого критерия в общее понятие «удовлетворение работой» он оценил матрицей
Удовлетворение работой |
И |
П |
Д |
К |
М |
Р |
И |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
1/2 |
П |
1 |
1 |
2 |
4 |
1 |
1/2 |
Д |
1 |
1/2 |
1 |
5 |
3 |
1/2 |
К |
1/4 |
1/4 |
1/5 |
1 |
1/3 |
1/3 |
М |
1 |
1 |
1/3 |
3 |
1 |
1 |
Р |
2 |
2 |
22 |
3 |
1 |
1 |
Сравнением предложенных мест работы по избранным критериям получены матрицы
И |
А |
Б |
В |
|
П |
А |
Б |
В |
|
Д |
А |
Б |
В |
А |
1 |
1/3 |
1/2 |
|
А |
1 |
1 |
1 |
|
А |
1 |
5 |
1 |
Б |
3 |
1 |
3 |
|
Б |
1 |
1 |
1 |
|
Б |
1/5 |
1 |
1/5 |
В |
2 |
1/3 |
1 |
|
В |
1 |
1 |
1 |
|
В |
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
А |
Б |
В |
|
М |
А |
Б |
В |
|
Р |
А |
Б |
В |
А |
1 |
9 |
7 |
|
А |
1 |
1/2 |
1 |
|
А |
1 |
6 |
4 |
Б |
1/9 |
1 |
1/5 |
|
Б |
2 |
1 |
2 |
|
Б |
1/6 |
1 |
1/3 |
В |
1/7 |
5 |
1 |
|
В |
1 |
1/2 |
1 |
|
В |
1/4 |
3 |
1 |
Какое место работы следует выбрать студенту? Оценить согласованность решения.
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ КОНФЛИКТА
12. Две фирмы производят два конкурирующих товара. Каждый товар в настоящее время контролирует 50% рынка. Улучшив качество товара, обе фирмы собираются развернуть рекламные кампании. Если они этого делать не будут, состояние рынка существенно не изменится. Однако, если какая-либо фирма будет более активно рекламировать свои товары, то другая фирма потеряет соответствующий процент своих потребителей. Исследования рынка показали, что 50% потенциальных потребителей получают информацию посредством телевидения, 30% через газеты и 20% посредством радио. Сформулируйте задачу в виде игры с нулевой суммой. Может ли каждая фирма действовать с соответствии с единственной стратегией?
13. Фирма А производит сезонный товар, имеющий спрос в течение n единиц времени, который она может поставить на рынок в один из моментов времени i, i=1,2,..., n. Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна D, не заботясь о собственных интересах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в один из моментов j, j=1,2,..., n. Цель фирмы В разорение фирмы А, после чего, используя капитал концерна D, она может легко наверстать упущенное. Единственным законным средством фирмы В в конкурентной борьбе является выбор момента поставки товара на рынок, т.к. понижение цены на поставляемый товар запрещено определенным соглашением. Для разорения фирмы А фирма В должна минимизировать ее доходы. Пусть технология выпуска товара такова, что чем дольше он находится в производстве и позже поступает на рынок, тем выше его качество, а реализуется товар только более высокого качества, т.к. цена на товары разного качества одинакова. Доход от продажи товара в единицу времени равен с д.е. Требуется формализовать данную конфликтную ситуацию и построить матрицу игры для n=4, с=6 д.е.; найти нижнюю и верхнюю цену игры, минимаксную и максиминную стратегии игроков, проверить наличие седловой точки.
14. Две фирмы А и В проводят рекламную кампанию на предполагаемых рынках сбыта в каждом из двух соседних городов. У фирмы А имеются средства, чтобы оплатить в двух городах в совокупности четыре способа проведения рекламной кампании, у фирмы В средства на три способа. Победа каждой фирмы, для определенности, фирмы А, в каждом из городов оценивается в условных единицах (баллах) следующим образом. Если у фирмы А больше способов рекламы, чем у конкурента, то в качестве выигрыша она получает количество баллов, равное числу способов рекламы, примененных конкурентом в данном городе с добавлением одного балла за победу. Если у фирмы А меньше способов рекламы, чем у конкурента, то она проигрывает количество баллов, равное числу способов рекламы, примененных ею в данном городе и минус один балл за проигрыш. Если число способов рекламы в городе у обеих фирм одинаково, то каждая из них получает ноль баллов. В качестве общих выигрышей каждой из фирм принимаются суммы ее баллов по двум городам в различных ситуациях. Требуется представить модель конфликта в виде матричной игры, составив матрицу выигрышей фирмы А. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, проверить наличие седловой точки.
15. В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А налоговая инспекция, В налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т д.е. У стороны А два возможных способа действия. Один из них состоит в контролировании дохода налогоплательщика В и взимании с него налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности, и налога в размере Т (в дополнение к уже уплаченной сумме) и штрафа в размере W, если заявленный в декларации доход меньше действительного или в случае сокрытия всего дохода; затраты стороны А на осуществление контроля равны R. Второй способ поведения стороны А не контролировать доход налогоплательщика. У стороны В три стратегии поведения: заявить о действительном доходе; заявить доход, меньше действительного и заплатить налог C<T; скрыть доход. Требуется формализовать данную конфликтную ситуацию и построить матрицу игры. Найти оптимальные стратегии сторон при T=100, W=60, C=80, R=30 (руб.).
16. Менеджер фирмы часто путешествует между двумя городами. При этом есть возможность выбрать один из двух маршрутов: маршрут А представляет собой скоростное шоссе в четыре полосы, маршрут В длинную, обдуваемую ветрами дорогу. Патрулирование дороги осуществляется ограниченным числом инспекторов. Если все инспекторы расположены на одном маршруте, менеджер с его желанием ездить очень быстро, несомненно, получит штраф в 100 д.е. за превышение скорости. Если инспекторы патрулируют на двух маршрутах в отношении 50 на 50, то имеется 50%-я вероятность, что менеджер получит штраф в 100 д.е. на маршруте А и 30%-я вероятность, что он получит такой же штраф на маршруте В. Кроме того, маршрут В длиннее, поэтому бензина расходуется на 15 д.е. больше, чем на маршруте А. Определить оптимальные стратегии менеджера и дорожной инспекции (для упрощения ситуации предположить, что менеджер дополнительно покупает бензин у дорожной полиции).
17. Найти оптимальные стратегии фирм в ситуации, описанной задачей 13.
18. Найти решение матричной игры, заданной платежной матрицей а) ; б) .