Модуль 1. Наближені числа, оцінка похибки Наближені числа, їх абсолютні і відносні похибки

Розрахунки, як правило, проводяться з наближеними значеннями величин - наближеними числами. Початкові дані для розрахунку зазвичай даються з деякими похибками; в процесі розрахунку ще накопичуються похибки від округлення, від застосування наближених формул і т.п. Розумна оцінка похибок при обчисленнях дозволяє вказати оптимальну кількість знаків, які слід зберегти при розрахунках, а також в остаточному результаті. Оцінкою похибки наближеного числа називається модуль різниці між наближеним і точним значенням числа:

:

де а – наближене значення; – точне значення; а – абсолютна похибка наближеного значення.

Відносною похибкою наближеного числа називається відношення його абсолютної похибки до абсолютної величини числа:

– відносна похибка наближеного значення.

Приклад: Визначити, яка рівність точніша: .

Розв’язання:

Знаходимо значення даних виразів з більшим числом десяткових знаків:

Потім обчислюємо граничні абсолютні похибки, округляючи їх з надлишком:

Граничні відносні похибки складають:

Так як δа₁< δа₂; то рівність є точнішою.

Значущими цифрами в числі називаються всі цифри, окрім нулів зліва.

Приклад: у числі 0,0034 цифри 3 і 4 – значущі.

Приклад: у числі 10,003400 всі цифри – значущі.

Правило: Кількість вірних знаків визначається від першої значущої цифри числа до першої значущої цифри його абсолютної похибки, решта цифр називаються сумнівними.

Приклад: вірними знаками в числі 23,0456 з абсолютною похибкою 0,0003 є цифри 2,3,0,4,5, оскільки першою значущою цифрою числа є 2, а першою значущою цифрою абсолютної похибки – 3 (четверта цифра після коми).

Приклад: Округляти сумнівні цифри числа , залишивши вірні знаки у вузькому смислі; визначити абсолютну похибку результату.

Розв’язання:

Хай . Згідно умові похибка

(порівняння йде з цифрою "5", що стоїть на тому ж місці, де стоїть перша значуща цифра в даній абсолютній похибці). Це означає, що в числі 72, 353 вірними є цифри (7, 2, 3). За правилами округлення знайдемо наближене значення числа, зберігши десяті долі.

;

абсолютна похибка числа є сумою даної похибки та похибки округлення (різницею по модулю між старим числом 72,353 і отриманим після округлення новим числом 72,4).

Отримана похибка 0,073 більше 0,05; означає потрібно зменшити число цифр в наближеному числі до двох (тобто число 0,073 порівнюємо з 0,5 і округляємо за правилом округлення):

;

Оскільки , то обидві цифри, що залишилися, вірні у вузькому смислі.

Приклад:

Визначити абсолютну похибку наступних наближених чисел за їх відносними похибками.

Розв’язання: (відносна похибка в проміжних обчисленнях береться не у відсотках!)

.

Приклад:

Визначити кількість вірних знаків в числі х, якщо відома його абсолютна або відносна похибка

Розв’язання:

Кількість вірних знаків визначається від першої значущої цифри числа до першої значущої цифри його абсолютної похибки, решта цифр називається сумнівними. 0,3941

0,0025

3, 9 – вірні знаки, першою значущою цифрою числа є 3, першою значущою цифрою його абсолютної похибки – число 2.