3.3 Лабораторна робота № 6

ТЕМА. Оцінка переходів у неперервних ланцюгах Маркова. Перевірка марківського процесу на ерґодичність

МЕТА: навчитись обчислювати фінальні ймовірності та перевіряти неперервний марківський процес на ерґодичність.

Короткі теоретичні відомості

Якщо зміна станів системи Е може відбутися у будь-який момент часу , то така послідовність зміни станів утворює простий ланцюг Маркова з неперервним часом. Якщо ланцюг Маркова з дискретним часом фактично описувався випадковими величинами, або випадковою функцією з дискретним арґументом, то ланцюг Маркова з неперервним часом описується випадковою функцією неперервного арґументу. Якщо у ланцюзі Маркова існує фінальний розподіл імовірностей, який відповідає та не залежить від початкового стану системи, тоді такий розподіл імовірностей визначає фінальний, або сталий, режим системи. У цьому випадку систему називають статично стійкою, а марківський процес у такій системі – ерґодичним.

Хід роботи

1) користуючись формулами Маркова: для матриці П переходу ймовірностей однорідного ланцюга Маркова знайти розподіл імовірностей для 5 – 6 кроків та зробити припущення щодо ерґодичності процесу;

2) знайти фінальні ймовірності із системи рівнянь Маркова коли :

та перевірити, чи є процес дійсно ерґодичним.

Контрольні запитання

1. Що характеризують рівняння Маркова?

2. Який марковський процес називають ерґодичним?

3. Які ймовірності називають фінальними?

Література: [ 3, 4, 5].

3.4 Завдання для лабораторної роботи № 6

Варіанти

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18) 19) 20)

21) 22) 23)

24) 25) 26) 27)

28) 29) 30)

3.5 Лабораторна робота № 7

ТЕМА. Ознайомлення з процесами в технічних об`єктах, обчислення фінальних імовірностей за формулами Колмогорова, визначення прибутковості моделі відмовостійкої системи за допомогою ланцюгів Маркова

МЕТА: навчитись будувати граф за даними параметрів станів системи, складати систему диференціальних рівнянь Колмогорова та обчислювати фінальні ймовірності. Використовувати отримані результати при обчисленні прибутку від експлуатації системи.

Короткі теоретичні відомості

Найважливіша характеристика марківського процесу – ймовірність переходу об'єкта в той або інший стан за заданий проміжок часу. Інформація про ймовірність переходу об'єкта в різні стани дозволяє визначити ймовірність кожного з можливих станів процесу.

Розглянемо стисло методику визначення ймовірності станів марківського процесу. Нехай об'єкт дослідження може знаходитись у деяких станах, число яких кінцеве (дорівнює n). Номери станів 0, 1, 2 . . ., n. З i-го стану в j-ий об'єкт переходить з постійною інтенсивністю _ij, назад – з постійною інтенсивністю _ji. Академік О.М. Колмогоров запропонував систему диференціальних рівнянь для визначення ймовірності кожного із станів. Отримати систему рівнянь можна безпосередньо за виглядом графа станів, якщо скористатися наступним правилом: для кожного з можливих станів об'єкта записується рівняння, у лівій частині якого dPi/dt, а справа – стільки доданків, скільки стрілок графа стикається з даним станом. Якщо стрілка направлена у даний стан, то перед доданком ставиться плюс, якщо стрілка направлена із даного стану – мінус. Кожний з доданків дорівнює добутку інтенсивності переходу з даного стану (або в даний стан) на ймовірність стану, з якого виходить стрілка. Розв’язання системи рівнянь здійснюється за відомими правилами розв’язання систем диференціальних рівнянь. Проте його можна суттєво спростити, якщо врахувати, що даний процес – стаціонарний марківський процес, для якого похідні dPi/dt можна взяти рівними нулю (імовірність станів не змінюється з часом). При цьому система диференціальних рівнянь переходить у систему рівнянь алґебри. Останнім рівнянням цієї системи записують рівняння , яке є необхідним тому, що інші рівняння є лінійно залежними. Розв’язуючи систему одним з чисельних методів, отримаємо ймовірності станів досліджуваного об'єкта, які ще називають фінальними.

Хід роботи

Пристрій S складається з двох вузлів, кожний з яких у випадковий момент часу може вийти з ладу, після чого миттєво починається ремонт вузла, який продовжується невідомий заздалегідь випадковий час. Для даних параметрів системи :

1) побудувати граф станів пристрою: S₀ – обидва вузли працюють, S₁ – 1-й працює, 2-й ремонтують; S₂ – 2-й працює, 1-й ремонтують; S₃ – обидва ремонтують;

2) скласти систему диференціальних рівнянь Колмогорова та знайти фінальні ймовірності системи S;

3) обчислити середній чистий прибуток від експлуатації системи S у стаціонарному режимі, якщо відомо, що за одиницю часу робота 1-го та 2-го вузлів приносить відповідно прибуток у Пp₁ і Пp₂ грошових одиниць, а ремонт потребує витрат у l₁ і l₂ одиниць відповідно (скористатись формулою ПРИБУТОК (Пр) = , де і – номер стану системи, а витрати рахують як прибуток із від`ємним знаком).

Контрольні запитання

1. За яким правилом складають систему рівнянь Колмогорова?

2. Що характеризують параметри ?

3. Що характеризують фінальні ймовірності?

4. Який висновок щодо прибутковості системи дають отримані результати?

Література: [ 3, 4, 5].