2.3 Лабораторна робота № 4

ТЕМА. Знаходження характеристик ерґодичного стаціонарного випадкового процесу

МЕТА: навчитись знаходити характеристики випадкового стаціонарного процесу за однією з його реалізацій; аналізувати отримані результати відносно ерґодичності процесу.

Короткі теоретичні відомості

Ерґодична властивість випадкової функції полягає в тому, що майже кожна окрема реалізація випадкової функції відтворює всю сукупність можливих реалізацій (одна достатньо довга реалізація може замінити при обробці множину реалізацій тієї ж довжини). Якщо випадкова функція має ерґодичну властивість, тоді для неї середнє за часом (на досить великому проміжку спостереження) наближено дорівнює середньому за множиною спостережень. Про ерґодичність або неерґодичність випадкового процесу може безпосередньо засвідчувати вигляд його кореляційної функції. Для того, щоб кореляційна функція була визначена з достатньою ступінню точності, беруть досить велику кількість точок t_i (не менше сотні). Вибір довжини Δt визначається характером зміни випадкової функції: якщо функція змінюється досить плавно, ділянку Δt можна вибирати більшою, ніж тоді, коли вона здійснює різкі та часті коливання. Чим більш високочастотний характер мають коливання, тим частіше треба вибирати опорні точки при обробці.

Хід роботи

1) побудувати одну з реалізацій випадкового стаціонарного процесу, заданого

функцією X(t) , де u – випадкова величина (вибрати досить великий інтервал для арґументу функції);

2) обчислити перерізи функції X(t) на будь-якому проміжку часу в 200 с з інтервалом 2 с;

3) знайти m_x, D_x, _х;

4) беручи значення , розділені однаковими інтервалами = 2, 4, 6,…,

обчислити значення кореляційної функції за формулою:

;

5) скласти таблицю значень нормованої функції та побудувати її;

6) за допомогою символьної операції simplify пакета MathCAD знайти

та зробити висновки відносно ерґодичності даного процесу.

Контрольні запитання

1. Який випадковий процес називають ерґодичним?

2. Які значення кореляційної функції відповідають сталому значенню τ?

3. Які результати лабораторної роботи дають можливість зробити висновок відносно ерґодичності випадкового процесу?

Література: [ 2, 4, 6].

2.4 Завдання для лабораторної роботи № 4

Варіанти

3 Марковські процеси

3.1 Лабораторна робота № 5

ТЕМА. Знаходження ймовірностей переходу для однорідних марковських процесів з дискретним часом

МЕТА: навчитись обчислювати ймовірності переходу за декілька кроків та ймовірності станів для однорідних марковських процесів з дискретним часом.

Короткі теоретичні відомості

Випадковий процес називають простим ланцюгом Маркова з дискретним часом, якщо простір станів Е(t_i) деякої системи у дискретні моменти часу (простір результатів експерименту) є однаковим для кожного кроку, а розподіл імовірностей результатів на кожному кроці залежить тільки від результату попереднього кроку. Початковий стан системи на момент t₀ описує вектор початкових імовірностей р₀=(р₀₁,р₀₂,…,р_0n), а ймовірності переходу системи стану із E_i у стан E_j на момент t_n називаються перехідними ймовірностями та утворюють матрицю переходу П.

Користуючись формулою р(t) = р₀·П ^t, знаходять вектор станів системи на момент часу t.

Хід роботи

Дано матрицю П переходу ймовірностей однорідного дискретного ланцюга Маркова та вектор початкових ймовірностей р_0.

Знайти: 1) імовірність того, що вийшовши зі стану Е₁ за m кроків ланцюг опиниться в стані Е_k;

2) розподіл імовірностей за станами системи у момент часу t = L;

3) імовірність того, що у моменти часу t = a, b, c, d станами ланцюга будуть відповідно Е_e, Е_f, Е_g, Е_h.

Зауваження. Виконуючи завдання 3, скористатись формулами алґебри подій.

Контрольні запитання

1. Який випадковий процес називають ланцюгом Маркова з дискретним часом?

2. Що характеризує матриця П переходу ймовірностей ?

3. Що характеризує вектор початкових імовірностей р₀?

4. Як знаходять вектор станів системи на момент часу t?

5. Як знаходять матрицю ймовірностей переходу за m кроків?

Література: [ 3, 4, 5].