Приближенное вычисление определенного интеграла.

Cуществует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f (x) – интегрируемая на промежутке [a, b] функция, заданная таблично в узлах сетки , т.е. известны ее значения f (x_i) для

i = 0, 1, 2,….,n.

Для приближенного вычисления определенного интеграла I используют квадратурные формулы вида I  , где коэффициенты α_i выбирают тем или иным методом. Погрешность квадратурной формулы зависит от выбора коэффициентов α_i, разбиения промежутка [a, b] и погрешности вычислений, в которую входит и погрешность вычисления значений функции f (x_i) в узлах сетки.

Квадратурная формула Симпсона

Предполагается, что промежуток [a, b] разбит на четное число n = 2m равных промежутков длины h. На каждом из промежутков [x_i, x_i+2] для

i = 0, 2, 4,…, (2m – 2) функцию f (x) заменим на интерполяционный полином 2-го порядка g_i(x) = a_ix² + b_ix + c_i, которому графически соответствует парабола, проходящая через 3 точки: (x_i, f(x_i)), (x_i+1, f(x_i+1)) и (x_i+2, f(x_i+2)). Интеграл от функции g_i(x) по промежутку [x_i, x_i+2] даст приближенное значение интеграла , а сумма этих интегралов по всем участкам даст приближенное значение интеграла . Соответствующая квадратурная формула называется квадратурной формулой парабол, или квадратурной формулой Симпсона и имеет следующий вид:

, или

. (15)

В этой формуле:

– шаг сетки, т.е. длина промежутка [x_i, x_i+1] для i = 0, 1, 2,…, 2m– 1; y_i = f (x_i) – значения функции в узлах сетки (для i = 0, 1, 2,…, 2m).

Формула прямоугольников.

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x₀, x₁, … , x_m, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом: y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …. , y_n = f(x_n).

Составим суммы: y₀x + y₁x + … + y_n-1x, y₁x + y₂x + … + y_nx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

или - любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

Формула трапеций.

у

y₁ у₂ у_n

a x₁ x₂ b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Образец решения задания 1. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

По формуле Симпсона получим:

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)	2.828	3.873	4	4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

Образец решения задания 2 Дан определенный интеграл . Составить таблицу значений подынтегральной функции в точках x_i = 1 + ih, где i = 0, 1, …,10 с шагом h = 0,1 и вычислить приближенное значение интеграла, используя эту таблицу и квадратурную формулу Симпсона.

Решение. Для построения таблицы значений подынтегральной функции вычисляем значения x_i = 1 + ih, где i = 0, 1, …,10, h = 0,1, затем значения функции в этих точках f (x_i) = e^3xi / (10 x_i) и заносим их в таблицу. Для удобства дальнейших вычислений значения функции во внутренних точках x_i с нечетными номерами i смещаем влево, а с четными номерами – вправо.

i	xi = 1 + 0,1i	f (xi) = e3xi / (10 xi)
0	1	2,0086
1	1,1	2,4648
2	1,2	3,0499
3	1,3	3,8002
4	1,4	4,7633
5	1,5	6,0011
6	1,6	7,5944
7	1,7	9,6484
8	1,8	12,3004
9	1,9	15,7299
10	2	20,1714

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Симпсона. Для этого подставим в формулу (15) 2m = 10, h = 0,1, y_i = f (x_i) и получим:

 0,0333·(2,0086 + 20,1714 + 4 (2,4648 + 3,8002 + 6,0011 + 9,6484 + 15,7299) + + 2·(3,0499 + 4,7633 + 7,5944 + 12,3004))  7,606.

Ответ:  7,606.

Варианты заданий

Дан определенный интеграл , где N – номер варианта. Требуется: составить таблицу значений подынтегральной функции в точках

x_i = 1 + ih, где i = 0, 1, …,10 с шагом h = 0,1 и вычислить приближенное значение интеграла, используя эту таблицу и формулу Симпсона.

Указание1. Все вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой, полученный результат округлить до 3-х десятичных знаков после запятой.

Указание2. N– номер фамилии в журнале группы

Указание3. Выполнять в EXCEL