20 Вопрос.

Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение в координатах. Геометрические приложения.

Векторно-скалярное произведение 3-х векторов .

Это произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения 2-х векторов на 3-й вектор.

Смешаное произведение 3-х векторов образующих правую систему координат равно объёму паралепипеда построенного на этих векторах.

23 Вопрос.

Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение 2-х прямых. Расстояние от точки до прямой линии. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.

1. Часный случай расположения 2-х прямых на плоскости.

1) - уравнение прямой параллельной оси ОХ

2) - уравнение прямой параллельной оси ОУ

3)

2. Взамное расположение 2-х прямых.

Теорема 1 Пусть относительно аффинной системы координат даны уравнения прямых

А) Тогда необходимое и достаточное условие когда они пересекаются имеет вид:

Б) Тогда необходимое и достаточное условие того что прямые паралельны является условие:

,

B) Тогда необходимым и достаточным условием того что прямые сливаются в одну является условие :

3. Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Расстояние от точки до прямой относительно декартовой системы координат :

4. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности.

Пусть 2 прямые заданы относительно декартовой системы координат общими уравнениями.

Если , то прямые перпендикулярны.

24 Вопрос.

Плоскость в пространстве. Условие комплонарности вектора и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

1. Условие комплонарности вектора и плоскости.

2. Расстояние от точки до плоскости в декартовой системе координат.

3. Угол между 2-я плоскостями. Условие перпендикулярности.

Если , то плоскости перпендикулярны.

25 Вопрос.

Прямая линя в пространстве. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве.

1. Прямая линия – как линия пересечения 2-х плоскостей.

– L

2. Векторное уравнение прямой в пространстве.

3. Параметрическое уравнение прямой.

4. Каноническое уравнение прямое.

5. Уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки.

Вопрос 26.

Пряма в пространстве. Приведение общего уравнения прямой линии к каноническому. Угол между двумя прямыми. Усл параллельности и перпендикулярности. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.

Приведение общего вида к каноническому.

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Чтобы преобразовать общее уравнение в каноническое нужно найти произвольную точку прямой и числа (l,m,n)

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

a[n1*n2]= = il+jm+kn

Угол между двумя прямыми. Усл параллельности и перпендикулярности

Возьмем в канонической форму две прямые

(x-x₁)/l₁+ (y-y₁)/m₁+ (z-z₁)/n₁

(x-x₂)/l₂+ (y-y₂)/m₂+ (z-z₂)/n₂

Усл параллельности

Усл перпендикулярности

Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.

[a1,a2]

Кратчайшее расстояние d=|np_[a1,a2]M₁M₂]|=|(a₁,a₂,M₁M₂)|/|[a₁,a₂]|