17 Вопрос.

Линейная зависимость и независимость между векторами.

Если над , … выполнить действие сложения и умножения на скаляр, то в результате любого числа таких действий получим:

λ₁ + λ₂ +..+ λ_к Это линейная комбинация исходных векторов.

Вектора , … называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная ō.

λ₁ + λ₂ +..+ λ_к = 0

Вектора , … называются линейно-НЕзависимыми, если не существует их нетривиальная линейная комбинация.

Свойства линейно-зависимых и Независимых векторов:

1)система векторов, содержащая нулевой вектор линейно-зависима.

λ₁ + λ₂ +..+ λ_к +1ō= ō

2)для того, чтобы векторы , … были линейно-зависимыми, необходимо, чтобы какой-нибудь вектор являлся линейной комбинацией других векторов.

3)если часть векторов из системы а₁(вектор), а₂(вектор)… а_к(вектор) линейно-зависимы, то и все вектора линейно-зависимы.

4)если все вектора , … линейно-Независимы, то любая подсистема этих векторов также линейно-НЕзависима.

Аффинная система координат

Фиксированная тройка некомпланарных векторов с общим началом в т. О называется аффинной системой координат, а т.О – началом этой системы координат.

r₁ , r₂ , r₃ – опр. вектор.

М( , , )

Линейные операции в координатах.

+ = (а₁ + в₁ ) + (а₂ + в₂ ) + (а₃ + в₃ )

λ = (λа₁ ) + (λа₂ ) + (λа₃ )

Метод системы координат

Теорема об однозначном разложении любого вектора по трем некомпланарным векторам, а также точки пространства определены тройками чисел(координат), благодаря этому становится возможным в векторной алгебре применять скалярные аналитические методы, заменяя вектор на тройку чисел.

Прямоугольная система координат.

Это аффинная система координат с ортонормированным базисом.

Базис ортонормирован, если:

1)вектора базиса попарно перпендикулярны.

2) их модули равны единице.

Два базиса: правый и левый.

Каллениарные вектора.

Векторы называются каллениарными, если они параллельны одной прямой.

Нулевой вектор считается каллениарным любому вектору.

Компланарные вектора.

Вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

1)нулевой вектор считается компланарным в любой системе компланарных между собой векторов.

2) компланарные вектора расположены в одной плоскости, если их начало поместить в одну точку.

3) два вектора всегда компланарны.

18 Вопрос.

Скалярное произведение векторов. Его свойства и выражение в координатах. Геометрические приложения.

Скалярное произведение 2-х векторов – это число равное произведению векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

1. Комутативность

2. 

3. (a;b)=0, тогда и только тогда, когда векторы ортоганальны или какой нибудь из векторов равен 0.

4. Дистрибутивность (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Выражение скалярного произведения a и b через их координаты

При выполнении условия ( ) , h,l=1,2,3

19 Вопрос.

Векторное произведение векторов, его свойство и выражение в координатах. Геометрические приложения.

Векторным произведением 2-х векторов и называется третий вектор который удовлетворяет следующим уравнениям:

1. 

2. 

3. – правая

Свойства векторного произведения:

1. 

2. 

3. 

4. Векторное произведение координатных ортов

-ортонормированый базис.

; =1

Часто для обозначения ортов ортонормированного базиса используются 3 символа

Векторное произведение в координатной форме.

Если - это ортонормированный базис, то