2. Модели взаимодействия мультипликатора и акселератора

2.1 Модель Самуэльсона-Хикса

Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен⁷.

Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде

Ct = Ca,t + Cyyt-1,

где Ca - автономное потребление.

Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде

It = Ia,t +  (yt-1 - yt-2).

На рынке благ установится динамическое равновесие, если

,

(8)

где

At = Сa,t + Ia,t.

Уравнение (8) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

При фиксированной величине автономных расходов (At = A = const) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне , т.е. yt = yt-1 = yt-2 = ... = yt-n =  , где n - число периодов с неизменной величиной автономных расходов.

Из уравнения (8) следует, что  = A/(1 - Cy).

Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса.

Освободимся от неоднородности в уравнении (8). Значения yt и удовлетворяют равенству (8), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами:

,

(9)

где

yt   yt -  .

Так как yt =   + yt, то направление изменения yt определяется направлением изменения yt.

Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений следует, что характер изменения yt зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен (Cy +  )2 - 4 , то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величины

мультипликатора и акселератора.

Рис. 2. Четыре области сочетаний Cy

Если (Cy +  )2 - 4  > 0, то изменение yt происходит монотонно;

при (Cy +  ) 2 - 4  < 0 оно будет колебательным. Следовательно, график функции , изображенный на рис. 1, отделяет множество сочетаний Cy, , обеспечивающих монотонное изменение yt, от множества комбинаций из значений Cy, , приводящих к колебаниям yt.

Устремляется ли значение yt к некоторой конечной величине или уходит в бесконечность, зависит от значения последнего слагаемого характеристического уравнения. Если  < 1, то равновесие установится на определенном уровне. При  > 1 нарушенное 1 раз равновесие больше не восстановится. Когда  = 1 , тогда значение yt будет колебаться с постоянной амплитудой.

В результате все множество сочетаний Cy и оказалось разделенным на пять областей, как это показано на рис. 1. Если значения Cy и указывают на область I, то после нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса значение yt монотонно устремится к новому равновесному уровню При значениях Cy и , находящихся в области II, национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие колебания. Сочетания значений Cy и , расположенные справа от перпендикуляра, опущенного из точки B на ось абсцисс, соответствуют нестабильному равновесию. Когда сочетания значений Cy, указывают на область III, тогда динамика yt приобретает характер взрывных колебаний. Комбинации значений Cy, в области IV приводят к тому, что после нарушения равновесия yt монотонно устремляется в бесконечность. И наконец, если акселератор равен единице, то при любом значении предельной склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные незатухающие колебания yt.

В рассматриваемой модели динамика национального дохода в случаях, когда сочетания Cy, соответствуют областям III и IV (см. рис. 2), представляется неправдоподобной: не может в коротком периоде объем производства многократно возрасти или снизится. Это противоречие объясняется тем, что в модели не были учтены два обстоятельства. Во-первых, произведенный национальный доход не может существенно превысить национальный доход полной занятости; этим ограничивается амплитуда колебаний объема национального дохода сверху. Во-вторых, как отмечалось в выше, объем отрицательных индуцированных инвестиций не может превысить сумму амортизации; это ограничивает амплитуду колебания национального дохода снизу. В результате, когда сочетания Cy, соответствуют областям III и IV, модель взаимодействия мультипликатора и акселератора принимает вид

где Iin,t = max{-D;  (yt-1 - yt-2)}, если yt < yF, и Iin,t = yt - Ct - Ia,t при yt   yF.

С учетом этих обстоятельств приращение автономных инвестиций приводит к колебаниям национального дохода даже при нахождении сочетания Cy, в области IV.

Включим в модель взаимодействия мультипликатора и акселератора еще один фактор - рост населения. Пусть в результате роста населения автономный спрос ежегодно увеличивается в (1 + n) раз. Тогда уравнение (8) принимает вид

.

В этом случае вследствие мультипликативного эффекта величина равновесного национального дохода ежегодно будет возрастать в (1 + n) раз:

.

(10)

Первый сомножитель в правой части выражения (3) называют супермультипликатором Хикса. Он показывает, насколько увеличивается совокупный спрос в году t, если в дополнение к ежегодному росту автономного спроса, обусловленного ростом населения, на единицу возрастут автономные инвестиции⁸.

Вследствие ежегодного увеличения населения с тем же темпом будут расти автономные расходы и национальный доход полной занятости - верхний предел возможных колебаний национального дохода

yF,t = yF,0(1 + n)t.

Экзогенный рост автономного спроса повышает и нижнюю границу колебаний национального дохода, даже если допустить рост амортизационных отчислений с тем же темпом, что и автономный спрос

Dt = D0(1 + n)t = -In,t,min.

Тогда в ситуациях, соответствующих областям III и IV, после увеличения автономного спроса с темпом (1 + n) колебания национального дохода будут происходить в наклонном коридоре.