Границя функції
Приклад.
y=x2+1 Намалюємо графік функції. Функція визначена в деякому (навіть в будь-якому) проколотому околі точки x0 = 1.
Розглянемо будь-яку послідовність точок xn на осі Ох із цього проколотого околу таку, що наближається до точки 1: xn 1, n , .
Побудуємо відповідну послідовність значень функції yn = ƒ(xn) - послідовність на осі Оу і знайдемо її границю:
y n 2, n . Вона буде однаковою для будь-якої початкової послідовності xn . В такому випадку число 2 називається границею функції x2+1 в точці 1 і записують y 2, x 1, або lim (x2+1) = 2.
x 1
П ри знаходженні границь допомагають графіки функцій.
Приклади. lim = 1, lim = 0, lim = 0, lim = .
х 1 х + х х 0
О значення. (за Гейне) Нехай ƒ(x) визначена в деякому проколотому околі точки x0. А називається границею функції в точці x0, якщо для будь – якої послідовності xn з цього проколотого околу, такої що xn x0, n , відповідна послідовність значень функції yn = ƒ(xn) А, n .
П означається ƒ(x) А, x x0 , або lim ƒ(x) = А.
x x0
x 0 і А можуть бути числами або символами + ,- , .
П риклад функції, яка не має границі. y = sin x, визначена при всіх х є , тому
можна розглядати її границю і при x0= + .
Для послідовності {nП} + , sin (nП)=0 0,n + ,
а для послідовності { + 2nП} + , sin( + 2nП)=1 1,n + ,
, тому границі нема.
Отже, границя функції в точці або на нескінченності може бути числом, нескінченністю, або взагалі не існувати.
П риклад. y = 2x + 1, x0 = 2.
5+
5
5-
2- 2 2+
. Якщо взяти будь-який окіл точки 5 на осі Оу (5- , 5+ ), то можна побудувати такий окіл точки 2 на осі Ох (2- , 2+ ), що всі точки околу на осі Ох переходять при відображенні нашою функцією в початково вибраний окіл на осі Оу.
|
1 |
0,5 |
|
δ |
0,5 |
0,25 |
/2 |
Означення. (за Коші) Нехай ƒ - визначена в деякому проколотому околі точки x0. А називається границею функції ƒ в точці x0, якщо для будь-якого
-околу точки А (на осі Оу) існує такий проколотий δ-окіл точки x0 (на осі Ох), що при відображенні функцією попадає в -окіл точки А.
Теорема. Означення за Гейне і за Коші еквівалентні.
Означення. Якщо в означенні за Гейне або за Коші замість проколотого околу брати тільки лівий окіл точки x0, то А називають лівою границею функції ƒ в точці x0 і позначається
lim ƒ(x) = А, або ƒ(x) А, x x0- або ƒ(x0- )=А.
x x0-
Аналогічно для правої границі розглядатимемо правий окіл (x0; x0+ δ)
lim ƒ(x) = А, або ƒ(x) А, x x0+ або ƒ(x0+ )=А.
x x0+
Приклад.
у= ln x lim ln x = - ,
x 0+
ƒ(0+) = -
Тут ліву границю шукати не можна, бо функція невизначена зліва від точки 0.
П риклад. f(x)={
2
1
1
тому не існує.
Теорема. Границя функції в точці x0 існує тоді і тільки тоді, коли права і ліва границі існують і однакові.
Означення. Функція ƒ називається нескінченно великою в точці x0, якщо її границя в цій точці є нескінченністю.
Функція ƒ називається нескінченно малою в точці x0, якщо її границя в цій точці дорівнює 0.
Приклади.
- нескінченно мала на + і на ;
- нескінченно велика в точці 0;
sin x - нескінченно мала в точці 0;
ln x - нескінченно велика в точці 0.
- не є ні нескінченно малою ні нескінченно великою в точці 1.