Послідовність

- множина натуральних чисел ={1, 2, 3, …}

- множина дійсних чисел – всі числа – точки на прямій =(- ; + )

Означення. Послідовність – це функція, яка діє з множини в , тобто, відображення, що кожному натуральному числу ставить у відповідність дійсне число.

Можна розмістити значення функції-послідовності в порядку зростання аргументів: ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3), … , ƒ(n), …={ ƒ(n) } n 1.

Частіше використовують позначення з індексами:

=ƒ(1), =ƒ(2), =ƒ(3), … , =ƒ(n), …. = , n 1.

Пр. 1, , , , … = , n 1.

Зауваження:

1) порядок елементів у послідовності важливий;

2) елементи можуть повторюватися:

Пр. 1, 1, 1, 1, …= {1} - стала послідовність.

a_n= ƒ(n) – загальний член послідовності.

Послідовність називається a_n монотонною чи обмеженою, якщо цю властивість має відповідна функція a_n= ƒ(n).

Пр. { } – спадна послідовність і обмежена.

Границя послідовності

Означення. Окіл точки – це відкритий інтервал з центром у цій точці.

Окіл точки a - це інтервал (a- ; a+ ), >0.

Приклад.

1- 1 1+ (1- ; 1+ ), >0 -- -окіл точки 1.

(0;2) окіл точки 1, =1

(0,5;1,5) окіл точки 1, =

(0,9;1,1) окіл точки 1, =0,1.

Означення. Окіл + – це інтервал (М; + ), де М деяке число (М є R).

М

Приклад. (2; + ), (100; + ) – околи + .

Означення. Окіл - – (- ; m), де m є R.

m

Приклад. (- ; 0), (- ;-100) – околи -

Означення. Проколотий окіл точки a - це окіл точки a, з якого викинули a.

(a- ;а)U(а;a+ )

a- a a+

Приклад для означення границі.

1. , , , … , ,...= , n є Нанесемо ці точки на числову пряму. Побачимо, що вони наближаються до точки 0. Для будь-якого околу точки 0

(- ; ) можна вказати номер N члена послідовності, починаючи з якого всі точки попадають в цей окіл.

-1 -1/2 0 1/4 1/3 ½ 1

	1	0,5	0,1
N	2	3	11

Тоді кажуть, що 0 є границею послідовності і записують , ,або .

Означення. Нехай є послідовність {a_n} числа a_n можна позначити на прямій Нехай a число або символ + чи - . a – називається границею послідовності a_n, якщо в будь - якому -околі a лежать всі члени послідовності, починаючи з деякого номера N. Позначається , або .

Те саме: для будь-якого >0 існує число N, таке що для всіх виконується a_n є (а- , а+ ) |a_n-a|< .

Приклад. {a_n}={1}

, або ,

1

бо в будь-якому околі точки 1 лежать навіть всі члени послідовності.

	1	0,5	0,1
N	1	1	1

Властивість. Границя сталої послідовності {a} є та сама стала а.

Приклад. {2n}=2, 4, 6,…

2n + , n . Для околу (М,+ )

M	0	10	100
N	1	6	51

2 4 6

можна аналогічно скласти табличку

Приклад. {-n² } = -1, -4, -9,...

- n² - , n .

Означення. Послідовність a_n називається нескінченно великою, якщо . Позначається , або .

Приклади. 2n, -n² - нескінченно великі послідовності, бо i

{(-1)ⁿ 2ⁿ} = -2, 4, -8, 16,... – нескінченно велика послідовність, бо

Означення. Послідовність a_n називається нескінченно малою, якщо її границя дорівнює 0: .

Приклади. - нескінченно мала послідовність.

{-1} – ні нескінченно мала, ні нескінченно велика послідовність.

Означення. Якщо границя послідовності є число a є R – то послідовність називається збіжною.

Приклад. { }, {1} – збіжні послідовності,

{ 2n} – не є збіжною.

Приклад. Послідовність, яка не має границі:

{(-1)ⁿ} = -1, 1, -1, 1, -1, 1… - не має границі, бо не скупчується біля жодного числа і не йде на .

Отже, послідовність може мати границю число, або нескінченність, або взагалі не мати границі.

Властивості границь послідовностей

1. Границя суми, різниці, добтку, частки (якщо частка існує) двох послідовностей дорівнює сумі, різниці, добтку, частці їх границь (якщо їх можна обчислити).

2. Обернена до нескінченно великої послідовності є нескнченно малою і навпаки, тобто, обернена до нескінченно малої (якщо вона існує) послідовності є нескінченно великою: і .

(Пояснення. 1/1000=0,001 1/0,001=1000.)

Приклади.

1. lim ( 1 + 1/n) =lim 1 + lim 1/n = 1+0=1

n ∞ n ∞ n ∞

n² + n – 1 + ∞ 1 + 1/n – 1 /n² 1 + 0 – 0

2 . lim - невизначеність =lim = = 1/2

n ∞ 2n² + 1 + ∞ n ∞ 2 + 1/n² 2 + 0

3 . n² + 4n ∞ 1 + 4/n

lim = = lim = .

n ∞ 2n + 1 ∞ n ∞ 2/n + 1/ n²

Властивість 3. (Вейєрштраса) Монотонна і обмежена послідовність є збіжною.

Ряди

Під сумою всіх членів послідовності а_n розуміють наступне:

.

Нескінченну суму зліва ще позначають і називають рядом або нескінченним рядом. Ряд називають збіжним, якщо границя в правій частині рівності є числом, інакше – розбіжним. Детальніше ряди вивчатимемо пізніше.