Перевод дробных чисел с нулевой целой частью.

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной сис­теме счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дроб­ная часть произведения не станет равной нулю или пока не будет найде­но требуемое количество дробных цифр в новой системе счисления.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, записывая ее цифры слева направо, начиная с целой части первого произведения.

В качестве примера переведем число 0,8608 в систему счисления по основанию 5. Умножаем это число на 5, получаем 4,304. Дробная часть полученного числа равна 0,304; ее мы опять умножаем на 5, получаем 1,52. Умножая 0.52 на 5, получаем 2,6. Наконец, умножая 0,6 на 5, по­лучаем 3,0. Последнее число имеет нулевую дробную часть, поэтому на данном этапе процесс умножения прекращается. Подчеркнем, что на каждом этапе мы умножали на 5 только дробную часть ранее получен­ного произведения. Оформим наши действия в виде таблицы:

	0,8608 x 5
4	,3040 x 5
1	,5200 x 5
2	,6000 x 5
3	,0000

Осталось выписать целые части полученных произведений, начиная с первого: 4123. Это и будет дробная часть представления десятичной дроби 0,8608 в системе счисления по основанию 5:

0,8608 = 0,4123;

Сделаем проверку:

0,4123₅ = 4 ∙ 5^-1 + 1 ∙ 5^-2 + 2 ∙ 5^-3 + 3 ∙ 5^-4 = 4 ∙ 0,2 + 1 ∙ 0,04 + 2 ∙ 0,008 + 3 ∙ 0,0016=

= 0,8 + 0,04 + 0,016 + 0,0048 = 0,8608

Примеры перевода десятичной дроби в другие системы счисления приведены также в решении задачи 2.9.

Перевод смешанных чисел.

Для перевода в новую систему счисления десятичных чисел, содер­жащих как целую, так и дробную часть, следует выполнить перевод целой и дробной частей по отдельности, используя описанные выше алгоритмы.

Системы счисления с основанием 2n

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ (чаще всего в качестве q дается 8 или 16), нужно выполнить следующие действия.

1. Данное двоичное число разбить справа налево на группы по п цифр в каждой.

2. Если в крайней левой группе окажется меньше п разрядов, то дополнить эту группу слева нулями до п разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Следующая таблица содержит представления целых чисел от 0 до 15 в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системе.

q = 2	q = 8	q = 10	q = 16
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	А
1011	13	11	В
1100	14	12	С
1101	15	13	D
1110	16	14	Е
1111	17	15	F

Арифметика в позиционных системах счисления

В основе правил арифметики над числами в позиционных системах счисления лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел. В качестве примера приведем двоичные таблицы сложения и умножения, а также восьмеричную таблицу сложения. Следует обратить внимание на то, что значения всех сумм и произведении в подобных таблицах указываются в выбранной системе счисления (например, 1₂ + 1₂ = 10₂, 6₈ + 7₈ = 15₈).

Двоичная таблица сложения

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Двоичная таблица умножения

X	0	1
0	0	0
1	0	1

Восьмеричная таблица сложения

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Сложение и вычитание, умножение и деление производятся по обычным правилам «в столбик». Эти правила аналогичны правилам, применяемым в десятичной системе счисления. В качестве примеров см. решения задач 2.2 и 2.3.