3)Теорема Тейлора для функций от нескольких переменных:

3.1Частные производные. Мультииндекс. Обозначения

Пусть        m  раз дифференцируемая функция, т.е. имеет все частные производные порядка 1,2, …, m , непрерывные в области D.

Тогда по теореме о равенстве смешанных производных  производную  k-ого порядка      можно записать  в виде

где       число дифференцирований по переменной     

  число дифференцирований по переменной     … ,

  число дифференцирований по переменной      Очевидно 

         Пусть     .  Положим   .  Для     введем обозначения     .   Тогда производную  можно кратко записать  в виде   

Для  мультииндекса     положим также    

3.2 Обобщение формулы Бинома Ньютона

где  сумма  берется по всем  целым неотрицательным решениям  уравнения 

3.3Теорема 1 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

Пусть        m+1  раз  дифференцируемая  функция в области D, точки  причем  отрезок прямой     соединяющий точки   целиком лежит в  D. Тогда справедлива  формула

где        некоторое число.  Поскольку под знаком  суммы   , то  имеем

Отметим,  что для  n=1  данная формула целиком совпадает  с формулой  Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.  Доказательство.   Рассмотрим функцию одной переменной  

Данная функция      m+1  раз  дифференцируема по параметру     , причем Используя формулу Тейлора для функции одной переменной, получаем

где       

Имеем 

Но

Используя  мультииндексы,  получаем

Аналогично получаем

Отметим также,  что

3.4 Теорема 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

 Пусть        m  раз  дифференцируемая  функция в некоторой окрестности  точки   . Тогда     допускает представление  

где  через   обозначена функция вида 

при этом известно, что     – некоторая  непрерывная функция в точке    

Доказательство.   Поскольку        m  раз  дифференцируемая  функция в некоторой окрестности     точки    , то  найдется такое число     что  в  шаре    функция     имеет непрерывные частные

производные  вплоть  до порядка  m   включительно.    

Пусть  единичная  сфера,   . 

При      поэтому функция  одной переменной    имеет  в  интервале    непрерывные производные   до порядка  m   включительно  Используя  формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа,  получаем

где        Теперь для доказательства  теоремы достаточно установить справедливость следующей  леммы.

 Лемма.      ,  и при этом функция непрерывна  в точке    

Доказательство.   Имеем

Поэтому     Следовательно

Теперь,  очевидно,  что  утверждение леммы  вытекает из непрерывности всех  частных производных  m-ого   порядка  в  шаре     Заметим  теперь, что        Лемма  и теорема  доказаны.