2.2 Формулы для остатка:

Существует несколько точных формул для остаточного члена R_k многочлена Тейлора, наиболее общая из которых следующая.

Остаток в форме среднего значения. Пусть функция f : R → R является k+1 раз дифференцируемой на открытом интервале и непрерывной на закрытом интервале между a и x. Тогда

для некоторого вещественного числа ξL между a и x. Это лагранжевая форма остатка. Таким же образом,

для некоторого вещественного числа ξC между a и x. Это запись остатка в форме Коши.

Эти уточнения теоремы Тейлора обычно выводятся с помощью формулы конечных приращений.

Можно так же найти и другие выражения для остатка. Например, если G(t) является непрерывной на закрытом интервале и дифференцируемой с нестремящейся к нулю производной на открытом интервале между a и x, то

для некоторого числа ξ между a и x. Эта версия охватывает формы Лагранжа и Коши как частные случаи, и выводится с помощью теоремы Коши о среднем значении (расширенной версии теоремы Лагранжа о среднем значении).

Запись формулы для остатка в интегральной форме является более общей, чем предыдущие формулы, и требует понимания интегральной теории Лебега. Однако она сохраняется также для интеграла Римана при условии, что производная порядка (k+1) от f является непрерывной на закрытом интервале [a,x].

Интегральная форма записи формулы для остатка Пусть f(k) является абсолютно непрерывной на закрытом интервале между a и x. Тогда

Вследствие абсолютной непрерывности f(k) на закрытом интервале между a и x, её производная f(k+1) существует как L1-функция, и это следствие может быть получено с помощью формальных вычислений с использованием теоремы Ньютона — Лейбница и интегрирования по частям.

2.3 Оценки остатка

На практике часто бывает полезно численно оценить величину остаточного члена приближения Тейлора.

Будем считать, что f является (k+1)-раз непрерывно дифференцируемой на интервале I, содержащем a. Будем считать, что существуют действительные постоянные числа q и Q такие, что

на всём протяжении I. Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству

если x > a, и схожая оценка, если x < a. Это простое следствие из формулы остатка в Лагранжевой форме. В частности, если

на интервале I = (a−r,a+r) с некоторым r>0, то

для всех x∈(a−r,a+r). Второе неравенство называется равномерной оценкой, потому что она сохраняет равномерность для всех x на интервале (a−r,a+r).

2.4 Доказательство теоремы:

Пусть

где, как указано в формулировке теоремы Тейлора,

Достаточно показать, что

Доказательство основано на повторяющемся применении правила Лопиталя. Заметим, что каждое j = 0,1,…,k−1, f(j)(a) = P(j)(a). Отсюда каждая следующая производная числителя функции hk(x) стремится к нулю в точке x = a, и то же самое справедливо для знаменателя. Тогда

где переход от предпоследнего выражения к последнему следует из определения производной в точке x = a.

2.5 Пример:

Допустим мы хотим найти приближение функции f(x) = ex на интервале [−1,1] и убедиться, что ошибка не превышает значения 10−5. В этом примере считаем, что нам известны следующие свойства экспоненциальной функции:

Из этих свойств следует, что f^(k)(x) = e^x для всех k, и в частности, f^(k)(0) = 1. Отсюда следует, что многочлен Тейлора k-го порядка функции f в точке 0 и его остаточного члена в форме Лагранжа даётся формулой

где ξ — это некоторое число между 0 и x. Поскольку e^x возрастает согласно (*), мы можем использовать e^x ≤ 1 дляx ∈ [−1, 0], чтобы оценить остаток на подинтервале [−1, 0]. Для нахождения верхней границы значения остатка на интервале [0,1], можем использовать свойство e^ξ<<e^x для 0<ξ<x, чтобы оценить

используя многочлен Тейлора второго порядка. Выражая из этого неравенства e^x, приходим к выводу, что

приняв, что числитель принимает максимальное из всех своих возможных значений, а знаменатель принимает минимальное из всех своих возможных значений. Используя эти оценки значений e^x, мы видим, что

и требуемая точность определённо достигается в том случае, когда

(где факториал 7!=5 040 и 8!=40 320.) В конечном счёте, теорема Тейлора приводит к приближению

Отметим, что это приближение позволяет вычислить значение e≈2.71828 с точностью до пятого знака после запятой.