4. Дальнейшее исследование вида функции Кирхгофа методами классической физики предпринималось рядом ученых. Мы остано­вимся только на результатах исследования д. Рэлеи и д. Джинса.

Рэлей получил, что

В дальнейшем Рэлей и Джине уточнили эту формулу, вычислив значение коэффициента пропорциональности:

| (10.22)

Формула Рэлея — Джинса (10.22) хорошо согласовалась с данными опытов только в области малых частот излучения. Для больших ча­стот она была явно неверна (рис. 10.4). Формула Рэлея — Джинса противоречила также закону смещения Вина и закону Стефана—Больц-мана: по формуле (10.22) моно­тонно возрастает с ростом частоты, не имея максимума, а интегральная испускательная способность абсолют­но черного тела при любой темпера­туре обращается в бесконечность:

)

10.4 (10.22'

Работы Рэлея и Джинса ясно показали, что последовательное при­менение к л а с с и ч е с к о и физики к исследованию спектрального состава черного излучения дает абсурдные результаты, находящиеся в противоречии с законом сохранения энергии.

Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок полости) в виде совокупности линейных гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия рас­ход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой должен полностью компенсироваться в результате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк показал (1899), что

(10.23)

Где — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Если бы для ее определения Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической статистической физики о равном распределении энергии по всем степеням свободы равновесной системы, то он получил бы, что , При этом его формула (10.23) совпала бы с (10.22).

Однако Планк пытался найти выражение для исходя из термодинамических соотношений. Он был убежден, что между энтропией S осциллятора и его средней энергией должна существовать сравни­тельно простая связь.

В октябре 1900 г. Планку удалось подобрать такой вид зави­симости от , при котором

(10.24)

где и — постоянные коэффициенты.

Оказалось, что формула (10.24) блестяще согласуется с резуль­татами экспериментов при всех частотах и температурах. Поэтому следующий основной этап исследования, завершенный Планком в де­кабре 1900 г., состоял в выяснении физического смысла и теоретиче­ском обосновании столь удачно угаданного им соотношения между энтропией и средней энергией осциллятора. Применив статистический метод Больцмана, Планк вывел искомое соотношение. Однако для этого ему пришлось ввести так называемую квантовую гипотезу, совершенно чуждую классической физике. В классической физике предполагается, что энергия любой системы может изменяться непре­рывно, принимая любые сколь угодно близкие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия осциллятора может принимать только определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций — квантов энергии

' При этом условии средняя энергия осциллятора оказалась равной

Соответственно испускательная способность абсолютно черного тела

(10.25)

Из сопоставления (10.25) с формулой Вина (10.15') следует, что выражение должно зависеть от отношения , Поэтому

квант энергии

должен быть пропорционален частоте v:

(10.26)

Где —универсальная постоянная¹, получившая название постоян­ной Планка. Окончательное выражение формулы Планка для испу-скательной способности абсолютно черного тела имеет вид

(10.27) -

В области малых частот, т. е. при условии, что квант энергии во много раз меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея — Джинса. Для доказательства этого разложим в ряд:

Если л из формулы Планка (10.27) следует формула

Рэлея — Джинса (10.22):

В области больших часто' и единицей в знаменателе формулы (10.27) можно пренебречь по сравнению с . Тогда получим формулу

которая совпадает с выражением Вина (10.15), причем

6. Из формулы Планка легко получить закон Стефана — Больцмана и закон смещения Вина. При этом постоянную Планка можно

выразить через постоянные Стефана — Больцмана и Вина тогда интегральная испускательная способ­ность абсолютно черного тела

h =-6,626176 (36).10³⁴Дж-с.

со

13