Расчёт прогнозных значений показателей на 5-ый год методом Лагранжа

Показатель	Коэффициенты полинома при степенях				F(x)		Абсолютный прирост прогноза к отчёту за 4 год		Темпы роста прогноза, %
	A0	А1	A2	A3
НА
Ф
М
ЗП
П

Для НА:

A₀ = 4 ∙ f(1) – 6 ∙ f(2) + 4 ∙ f(3) – f(4) = ;

A₁ = – 4,33 ∙ f(1) + 9,5 ∙ f(2) – 7 ∙ f(3) + 1,83 ∙ f(4) = ;

A₂ = 1,5 ∙ f(1) – 4 ∙ f(2) + 3,5 ∙ f(3) – f(4) = ;

A₃ = – 0,17 ∙ f(1) + 0,5 ∙ f(2) – 0,5 ∙ f(3) + 0,17 ∙ f(4) = .

F(x) = A₀ + A₁ ∙ x + A₂ ∙ x² + A₃ ∙ x³;

F(5) = A₀ + A₁ ∙ 5 + A₂ ∙ 25 + A₃ ∙ 125 = ;

ΔM = F(x) – f(4) =

∙ 100 % =

3. Прогнозирование показателей полиномом первой степени с использованием метода наименьших квадратов

Для определения искомого полинома необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, где в качестве неизвестных выступают искомые коэффициенты полинома первой степени:

( x₁ + x₂ + … + x_n)A₁ + n · A₀ = f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_n)

(x₁² + x₂² + … + x_n²)A₁ + (x₁ + x₂ + … + x_n)A₀ = x₁f(x₁) + x₂ f(x₂) + … + x_n f(x_n)

Для заданного конкретного примера система будет выглядеть следующим образом:

( 1 + 2 + 3 + 4) A₁ + 4 A₀ = f(1) + f(2) + f(3) + f(4)

(1² + 2² + 3² + 4²) A₁ + (1 + 2 + 3 + 4) A₀ = 1f(1) + 2 f(2) + 3f(3) + 4f(4)

После преобразования получаем систему уравнений:

1 0 A₁ + 4 A₀ = f(1) + f(2) + f(3) + f(4)

30 A₁ + 10 A₀ = f(1) + 2 f(2) + 3f(3) + 4f(4)

Решив эту систему уравнений, получаем:

A₀ = f(1) + 0,5 f(2) – 0,5 f(4);

A₁ = – 0,3f(1) – 0,1 f(2) + 0,1f(3) + 0,3f(4)

F(x) = A₀ + A₁ · x.

F(5) = A₀ + A₁ · 5.

Используя полученные формулы, заполняем таблицу 3.

Таблица 3

Прогнозирование показателей с использованием метода “наименьших квадратов”

Показатель	Коэффициенты полинома при степенях		F(x)	Абсолютный прирост прогноза к отчёту за 4 год (ΔM)		Темпы роста прогноза, % ( )
	A0	A1
НА
Ф
М
ЗП
П

Для НА:

A₀ = f(1) + 0,5 · f(2) – 0,5 · f(4) = ;

A₁ = – 0,3 · f(1) – 0,1 · f(2) + 0,1 · f(3) + 0,3 · f(4) =

F(x) = A₀ + A₁ · x.

F(5) = A₀ + A₁ · 5 = .

ΔM = F(x) – f(4) =

=