5. Повторные независимые испытания

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном комплексе условий, в которых представляет интерес вероятность числа m наступлений некоторого события А в n испытаниях. Например, необходимо определить вероятность определенного числа попаданий в мишень при нескольких выстрелах, вероятность некоторого числа бракованных изделий в данной партии и т.д.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Описанная последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

,

где q = 1 - р.

Другими словами формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p.

Пример 2.5.20. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет p=0,8. Найти вероятность 7 попаданий при 10 выстрелах.

Решение:

Здесь n=10, m=7, p=0,8, q=1-0,8=0,2. По формуле Бернулли находим:

.

Ответ: 0,2.

Пример 2.5.21. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность появления трех бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение:

Вероятность изготовления бракованной детали р = 1 ~ 0,8 = 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли. Здесь p=0,2; q=1-0,2=0,8; n=5 (число испытаний); m=3.

.

Ответ: 0,0512.

Формула Пуассона. Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Р_n(m) появления события А при большом числе испытаний n, например, . По формуле Бернулли

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами р и q — числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления Р_n(m) при больших n. Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра—Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона:

, где .

Пример 2.5.22. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут три замка.

Решение:

Используем формулу Пуассона. В нашем случае , тогда

.

Ответ: 0,182.

6. Случайная величина

   1. Основные понятия

Случайной называют величину, которая принимает в результате испытания то или иное возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает счетное множество значений, т.е. такое множество, элементы которого можно подсчитать. Примером дискретной величины является количество студентов на лекции, число бракованных изделий в поставленной продукции, число новорожденных за сутки.

Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения в определенном интервале. Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал принципиально невозможно. Эти значения образуют несчетное бесконечное множество. Например, температура тела пациента за определенный промежуток времени; дальность полета футбольного мяча, объем утечки воды из городского водопровода.

Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможное значение - соответствующими строчными буквами х, у, z.

При многократных испытаниях определенные значения случайной величины могут встречаться несколько раз. Поэтому, для задания случайной величины недостаточно перечислить лишь все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появляться те или иные значения в результате испытания при одних и тех же условиях, т.е. нужно задать вероятности их появления.

Случайная величина считается заданной, если известен закон распределения случайной величины.

Распределением (законом) случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы и в графическом виде.

Пусть дискретная случайная величина Х принимает значения Х=х₁, Х=х₂,...,Х=х_n. Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(Х=х₁)=р₁, Р(Х=х₂)=р₂,..., Р(Х=х_n)=p_n.

Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания распределения дискретной случайной величины:

Значение случайной величины xi	x1	x2	…	xn
Вероятности значений pi	p1	p2	…	pn

Так как в результате испытания случайная величина X всегда примет одно из своих возможных значений х₁, х₂,... х_n, то эти случайные события образуют полную группу событий и

.

Табличную формулу задания называют также рядом распределения. Для наглядности ряд распределения можно представить в графическом виде, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником (полигоном) распределения случайной величины Х.

Пример 2.5.23. Построить график ряда распределения значений частоты пульса в гипотетической группе из 47 человек