4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Следствием основных законов сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Пусть требуется найти вероятность некоторого события В, которое может произойти вместе с одним из событий А₁, А₂,..., А_n, образующих полную группу несовместных событий. Так как события А₁, А₂,..., А_n образуют полную группу, то событие В может произойти только в комбинации с каким-либо из них:

Так как событие А₁, А₂,..., А_n, несовместны, то и комбинации А₁В, А₂В,..., А_nВ несовместны.

Согласно закону сложения несовместных событий, имеем:

Каждое из слагаемых является вероятностью произведения двух зависимых событий.

Теорема. Вероятность события В, которое может наступить только при условии появления одного из событий А₁, А₂,..., А_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий А₁, А₂,..., А_n на соответствующую условную вероятность события В.

Полученная формула называется формулой полной вероятности, а события А₁, А₂,..., А_n - гипотезами.

Пример 2.5.18. На склад ежедневно поступают детали с трех предприятий. С первого – 30 деталей, со второго – 20 и с третьего – 40. Установлено, что 2, 4 и 5% продукции этих предприятий, соответственно, имеют дефекты. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

Решение:

Обозначим: В – наугад взятая деталь дефектна;

А₁ – деталь изготовлена на первом предприятии;

А₂ - деталь изготовлена на втором предприятии;

А₃ - деталь изготовлена на третьем предприятии;

События А₁, А₂ и А₃ образуют полную группу несовместных событий и

Условные вероятности события В равны:

Тогда

Ответ: 0,0378.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса, которая названа по имени английского математика Томаса Байеса (1702-1761). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как в результате опыта произошло событие В.

Пусть имеется полная группа несовместных событий А₁, А₂,..., А_n. Вероятности этих событий до опыта (априорные) известны и равны соответственно Р(А₁), Р(А₂),..., Р(А_n). В результате проведения опыта произошло событие В. Необходимо найти апостериорные (после опыта) вероятности событий А_i, т.е. следует определить условную вероятность P(A_i/B).

Согласно закону умножения вероятностей имеем:

Выражая Р(В) с помощью формулы полной вероятности, имеем:

Пример 2.5.19. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Каковы вероятности того, что проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе, на третьем заводе?

Решение:

Обозначим через В событие - наугад взятый двигатель проработает без дефектов; А₁, А₂, А₃ события установки на автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором и третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

Условные вероятности события В равны:

Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности того, что он изготовлен на первом, втором, третьем заводах найдем по формуле Байеса. Сначала рассчитаем вероятность события В, используя формулу полной вероятности:

;

;

.

Ответ: 0,54; 0,29; 0,17.