Контрольная работа

Классический метод расчета переходных процессов

1.По приложенной машинной распечатке задания необходимо изобразить

электрическую схему заданного варианта (вместо R1,R2,R3 начертить активные сопротивления, вместо L, C- индуктивность и емкость, на месте Е показать источник напряжения, К1,К2- ключи);

2.Ключ К2 находится в положении 1;

3.В цепи действует источник напряжения e(t)=Еsin104t B;

4.Переходный процесс возникает вследствие размыкания ключа К1;

5.Рассчитать классическим методом переходные процессы в индуктивности iL(t), UL(t) и на ёмкости Uc(t), ic(t).

6.Построить графики iL(t),Uc(t),ic(t),UL(t);

ПАРАМЕТРЫ: Е=101 В, R1=70 Ом, R2=31 Ом, R3=32 Ом,

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД – L=40 мГн, С=1.09 мкФ

1. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо R1, R2, R3 на графической части листка с заданием начертим активные сопротивления, вместо С – ёмкость, вместо L – индуктивность, вместо Е – источник ЭДС. Ключ К2 находится в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа К1. ЭДС источника равна: е(t)=101·sin(104t) B.

Схема замещения электрической цепи представлена на рисунке 1.

Рис. 1 Схема замещения электрической цепи по заданию

Расчёт переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. Это частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений. В электротехнике указанные

составляющие называются принуждённой и свободной. Принуждённая составляющая переходного процесса, или установившийся режим,

рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчёта цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения.

Расчёт переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:

-рассчитывается цепь до коммутации для определения независимых начальных условий;

-рассчитывается установившийся режим после коммутации;

-составляется характеристическое уравнение и определяются его корни;

-записывается общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принуждённой и свободной составляющих;

-рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования;

-найденные постоянные интегрирования подставляются в полное решение. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рисунке 1, произведём в предложенном порядке.

Начальные условия – это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на ёмкости, так как они в момент коммутации не могут изменяться скачком. Это определяется законами коммутации:

Остальные начальные условия относятся к зависимым.

До коммутации в рассматриваемом варианте закорочен резистор R2 (его зажимы закорочены ключом К1).

Так как в цепь включён источник синусоидальной ЭДС, расчёт начальных условий проводим символическим методом.

Расчёт напряжения на ёмкости до коммутации проведём по схеме электрической цепи, представленной на рисунке 2.

Рис. 2 Эквивалентная схема замещения электрической цепи до коммутации Сопротивления реактивных элементов равны:

Комплексное сопротивление цепи относительно источника равно: Z = R1 + jXL = 70 + j400 = 406.1× ej80.1o (Ом).

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определяется по закону Ома

Мгновенное значение тока в индуктивности запишем в виде: iL (t) = 0.249×sin(104 t - 80.1o ) А.

Полагая в последнем выражении t=0-, получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:

iL (0-) = 0.249×sin(- 80.1o )= -0.245 А.

По законам коммутации ток индуктивности не может измениться скачком. Следовательно,

iL (0−) = iL (0+) = −0.245 А.

Через емкость С и сопротивление R3 ток не протекает. Поэтому: uС (t) = 0.

По законам коммутации напряжения на ёмкости не может измениться скачком. Следовательно,

uC (0−) = uC (0+) = 0.

Принуждённые составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определим по схеме цепи на рисунке 1.

Комплексное сопротивление цепи относительно источника равно:

= 96.1+ j392.9 = 404.5×ej76.3o (Ом).

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определяется по закону Ома

Мгновенное значение тока индуктивности, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде:

iLпр (t) = 0.250 ×sin(104 t - 76.3o ) A.

Комплексную амплитуду тока в ветви с ёмкостью определим по правилу плеч:

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости определится по закону Ома:

Мгновенное значение напряжения на ёмкости, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде:

uc пр (t) = 6.38×sin(104 t -110.7o ) B.

Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цепи после коммутации исключают источники (вместо источников необходимо включить их внутренние сопротивления). В полученной пассивной цепи разрывают любую

ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивление Z(jω). В выражении Z(jω) jω заменяют на р. Выражение Z(p) приравнивают к нулю.

Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рисунке 1 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с ёмкостью. Комплексное

входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Подставляя численные значения, находим p2 +16706p + 36770060 = 0.

Корни данного уравнения равны p1 = −2608,

p2 = -14098.

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходного процесса.

Для случая действительных корней

iLсв (t) = A1eр1t + A2eр2t = A1e−2608t + A2e−14098t (А).

Полный переходный ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:

iL (t) = 0.250 ×sin(104 t - 76.3o )+ A1e−2608t + A2e−14098t (A).

В последнем уравнении неизвестными являются А1 и А2, следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его

дифференцированием первого

Производная тока в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+

послекоммутационной схемы

Подставляя численные значения найденных ранее независимых условий iL (0+), uC (0+) и значение e(0+) = 0 , получим

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

ì- 0.245 = -0.243 + A1 + А2 ; íî525.2 = 593.4 - 2608A1 -14098A2 .

Отсюда постоянные интегрирования будут равны:

A1 = 0.00294 (А);

A2 = -0.00538 (А).

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде

Для определения напряжения на индуктивности в переходный период воспользуемся формулой

Переходный процесс на ёмкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для uC(t) как сумму двух составляющих:

uc (t) = uc пр (t) + ucсв (t) .

Принуждённая составляющая переходного процесса определена выше. Тогда uc (t) = 6.38×sin(104 t -110.7o )+ A1e−2608t + A2 e−14098t B.

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим её значение по выражению

duС (0+) = iС (0+) . dt C

Значение iС (0+) определим из системы уравнений (1) по законам Кирхгофа для момента времени t=0+, записанной выше. Тогда

Uc св(t)

Uc(t)

Uc пр(t)

Рис. 5. Закон изменения напряжения на ёмкости

Графики переходных процессов uL (t) и iC (t) , построенные в программе

MathCad по формулам (3) и (5) соответственно, представлены соответственно на рисунках 6 и 7.

uL(t) , В 150

100

50

t

50

100

Рис. 6. Закон изменения напряжения на индуктивности

iC(t), A 0.1

0.05

t

0.05

0.1

Рис. 7. Закон изменения тока в ёмкости

Операторный метод расчета переходных процессов

В контрольной работе необходимо операторным методом рассчитать переходный ток в индуктивности iL(t) и напряжение на емкости uc(t) при следующих условиях:

1.В цепи действует постоянный источник напряжения Е;

2.Ключ К1 разомкнут, а ключ К2 переводится из положения 1 в положение 2;

3.Значения параметров элементов:

Е=101 В;

R1=70 Ом, R2=31 Ом, R3=32 Ом, L=22 мГн, С=0.94 мкФ

4. Построить графики iL(t) и uc(t).

Решение

1. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо R1, R2, R3 на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо С – ёмкость, вместо L – индуктивность, вместо Е – источник ЭДС. Ключ К1 должен быть разомкнут. Коммутация происходит путём переключения ключа К2 из положения 1 в положение 2. ЭДС источника равна: Е=101 В.

Схема электрической цепи представлена на рисунке 1.

Расчёт переходного процесса операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа. Это позволяет перейти от непосредственного решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь во временной области, к решению алгебраических уравнений в области изображений.

IC

Рис. 1 Схема замещения электрической цепи по заданию