Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебр и аналитической геометрии
Задачи 1-10.Даны векторыa,b,c,d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется: 1) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторыa,b,cобразуют базис; 5) найти координаты вектораdв этом базисе.
9) a=3i+j+8k, b=j+3k, c=i+2j-k, d=2i-k;
1) 3a, -2c; 2) 3b, c; 3) a, b.
Решение:
1)формула: ab=x1x2+y1y2+z1z2
3a=(9, 3, 24); -2c=(-2, -4,2);
3a*(-2c)=9(-2)+3(-4)+24*2=18
2)Формула: [a,b]=
3b=(0, 3, 9); c=(1, 2, -1);
[3b, c]= =-21i+9j-3k
Модуль векторного произведения векторов: |[3b,c]|= (-21)2+92+(-3)2= 23,04
3) Векторыa=3i+j+8k, b=j+3k не коллинеарные.
ab=3*0+1*1+8*3=25,векторы а иbне ортагональны, потому что не равны 0.
4)abc= = =-3+3+0-8-18-0=-26 0, векторыa,b,cобразуют базис.
5) Векторdпредставим как:d=xa+yb+zc
Это равенство равносильно равенствам: 2=3x+0y+1z; 0=1x+1y+2z; -1=8x+3y-1z
Решив полученную систему уравнений, найдёмx,y,z.
x= ,y= ,z=
d=ab+c, в данном базисе вектор dимеет координатыx= ,y= ,z=
Задачи 11-20.Даны вершиныA(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) треугольникаABC.
Требуется найти:
1) уравнение стороны AB;
2) уравнение высоты CHи длину этой высоты;
3) уравнение медианы AM;
4) точку Nпересечения медианыAMиCH;
5) уравнение прямой, параллельной стороне ABи проходящей через вершинуC;
6) внутренний угол при вершине Aи внешний угол при вершинеC.
19. A(4,-4), B(8,2), C(3,8).
Решение:
1)Уравнение прямой: = , = , 3x-2y-20-уравнение стороныAB.
2)Сперва ищем перпендикулярность прямой 2x+3y+c=0, 2*3+3*8+c=0,c=-30, пришли к уравнение высоты: 2x+3y-30=0.
Ищем длину высоты от точки С до прямой ABd=
d= 7,5
3)Ищем координаты точки М: Xм=Xb+Xc/ 2 = 8+3 / 2 = 11 / 2
Yм=2+8 / 2 = 5
м(11/2, 5)
Следовацельно y-(-4) / 5-(-4) =x-4 / 11/4-4, 3x-0,5y-14=0 уравнение медианыAM.
4)2x+3y-30=0
=> x=5,7;y=6,2;N(5,7; 6,2)
3x-0,5y-14=0
5)3x-2y+c=0, 3*3-2*8+c=0, c=7;
3x-2y+7=0 -уравнение прямой, параллельной сторонеABи проходящей через вершинуC.
6)Внутренний угол при вершинеA определим как угол между прямымиABиAC, формула: tg ua=A1B2-A2B1/A1A2+B1B2
Уравнение прямой АС: y-(-4) / 8-(-4) = x-4 / 3-4, 12x+y-44=0
От сюда: tg ua= 3*1-12*(-2) / 3*12-2*1 = 27 / 34
Тогда: ua = arctg(0,7941) 0,6771rad,ua = 38,5o
Уравнение прямой ВС: y-2 / 8-2 = x-8 / 3-8, 6x+5y-58=0
От сюда: tg uc = 12*5-6*1 / 12*6+1*5 = 54 / 77
Тогда: uc =arctg(0,7013) = 0,6116,uс = 35o
Внешний угол при вершине C составитuс’=360o-uс=360o-35=325o
Задачи 21-30.Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 – 3 параметрам. Черезa иbобозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, черезF– фокус кривой,– эксцентриситет,2 c – фокусное расстояние,– уравнения асимптот гиперболы,D – директриса кривой,A,B– точки, лежащие на кривой.
29.
3) ось симметрии и.
Решение:
1)Каноническое уравнение эллипса определяется: x2/a2+y2/b2= 1 (1)
a- большая,b- малая полуочи.x1=-c,y1=0;x2=c,y2=0f1(-c;0),f2(c, 0)c=a2-b2 (2)
a=13,f(-5,0),c=5из формулы (2) b=a2-c2= 132-52= 12, от сюда уравнение эллипсаx2/132+y2/122= 1
2)Каноническое уравнение гиперболы определяется:x2/a2–y2/b2= 1 (3)
a- действительная,b– мнимая полуоси.x1=-c,y1=0;x2=c,y2=0f1(-c;0),f2(c, 0)c=a2+b2 (4)
b=4,f(-7,0),c=7 из формулы (4)b= с2-b2= 72-42= 33, от сюда уравнениегипербылыx2 / 33 -y2 / 16 = 1
3) Каноническое уравнение параболы определяется:y2=2px(5)
Уравнение директрисы: x=-p / 2 (6)
По условию директрисаx=-3 / 8 из формулы (6)p=3 / 4, от сюда уравнение параболыy2=2*3/4x
y2=3/2 x
Задачи 31-40.Даны четыре точкиA1(x1,y1,z1),A2(x2,y2,z2),A3(x3,y3,z3),A4(x4,y4,z4). Требуется найти:
1) уравнение плоскости A1A2A3;
2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскостиA1A2A3;
3) расстояние от точки A4до плоскостиA1A2A3;
4) синус угла между прямой A1A4и плоскостьюA1A2A3;
5) косинус угла между координатной плоскостью Oxyи плоскостьюA1A2A3.
39. A1(1,-2,7), A2(4,2,10), A3(2,3,5), A4(5,3,7).
Решение:
1)Уравнение плоскости проходящей через три точки m1(x1,y1,x1), m2(x2,y2,x2), m3(x3,y3,x3) имеет вид:
x-x1 y-y1 z-z1 x-1 y+2 z-7
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0 3 4 3 = 0 (x-1)(-23)-(y+2)(-9)+(z-7)11=0
x3-x1 y3-y1 z3-z1 1 5 -2 -23x+9y+11z-36=0 - уравнение плоскостиA1A2A3.
2)Уравнение прямой, проходящей через точкуA4, перпендикулярно плоскостиA1A2A3имеет нормальный векторn=(-23,9,11).От сюда уравнение искомой прямой x=5-23t,y=3+9t,z=7+11t
3) , xo=5, yo=3, zo=7,
A=-23, B=9, C=11, D=-36
d=|-23*5+9*3+11*7-36| / (-23)2+92+112 =183 / 731 = 6,8
4)Sinu= , составим уравнение прямой А1А4 проходящей через две точки:
x-x1 / x2-x1=y-y1 / y2-y1=z-z1 / z2-z1
x-1 / 5-1 = y-(-2) / 3-(-2) = z-7 / 7-7
x-1 / 4 = y+2 / 5 = z-7 / 0
a1=4, a2=5, a3=0
Sin u= |-23*4+9*5+11*0| / (-23)2+92+112 * 42+52+02 = 731 / 29971 0,2715
5) Cosu= , для плоскостиОху:A1=0,B1=0,C1=1
для плоскости A1A2A3: A2=-23, A2=9, A3=11
Cos u = 0*(-23)+0*9+1*11 / (-23)2+92+112 * 02+02+12 = 11 / 731 0,4069