Высшая математика. Контрольная работа №1. Вариант 9. 2012
..docВАРИАНТ 9
Контрольная работа № 1.
Основы векторной алгебры и аналитической геометрии
Задачи 1–10
Даны четыре вектора , , и , в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение
3) Найдем смешанное произведение векторов
–32 0.
Значит, векторы некомпланарны и образуют базис.
Составим систему уравнений в координатном виде , где координаты вектора в базисе , и найдем .
Определитель найден выше: .
, ;
Имеем: , ; .
Значит, .
Задачи 11–20
Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между рёбрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 9) сделать чертёж.
Решение
1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле
,
где координаты точки , координаты точки .
Таким образом, вычисляем:
.
2) Угол между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .
Найдем координаты векторов и .
= .
=.
Тогда = =.
.
3) Угол между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .
Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и
== .
Тогда == = .
4) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:
Тогда = .
= .
5) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .
== –53.
Значит, =.
6) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки .
Получим: = = – канонические уравнения прямой .
7) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .
=.
=0 – уравнение плоскости.
8) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. = (–4, –11, –3).
Имеем .
9) Сделаем чертёж:
Задача 29. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(4;0) вдвое дальше, чем от прямой .
Решение
Обозначим произвольную точку искомой кривой как . Тогда по условию получаем, что , где Р – основание перпендикуляра из точки М к прямой .
Находим: ; .
Значит, . Возводя обе части этого соотношения в квадрат, получаем , ,
Это каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (0, 0), действительная полуось , мнимая полуось .
Задачи 31–40
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).
Задача 39:
Решение
Докажем совместность системы.
Найдем ранг основной и расширенной матрицы системы
Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен количеству неизвестных , следовательно, система совместна и определена.
Найдем решение системы с помощью формул Крамера. Воспользуемся формулами Крамера:
, , , где – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.
== –15–12+24–27–8–20= –58;
= –464; = –232; = –116
Найдем , , .
Получим (8, 4, 2) – решение системы.
2. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме ,
где , , .
Решение системы в матричной форме имеет вид , где – матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле
= , где = –58 , – алгебраическое дополнение к элементу.
= |
= |
= |
= |
= |
= |
= |
= |
= |
Обратная матрица имеет вид: =.
Найдем решение системы.
== =.
(8, 4, 2) – решение системы.
Ответ: (8, 4, 2).
Задачи 41–51
Найти базис и размерность решений однородной системы линейных уравнений.
Задача 49:
Решение
Матрица, из коэффициентов системы
Получили трапециевидную матрицу, следовательно, система совместна и не определена.
Видно, что ранг матрицы равен 2. Следовательно, 2 неизвестные являются главными, а 2 - свободными. Значит, фундаментальная система решений системы содержит 4–2= 2 линейно независимое решение. Выберем в качестве главных неизвестных .
Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид
.
Или иначе:
.
Фундаментальная совокупность решений, является базисом линейного пространства решений исходной системы. Следуя общему правилу, полагаем ; затем – . В результате приходим к двум частным решениям, которые и составляют фундаментальный набор.
; .
Размерность искомого пространства равна 2.
Все решения данной системы выражаются через фундаментальный набор:
, где произвольные числа.
Ответ: .
Задачи 51–60
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Задача 59:
Решение.
Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:
.
= 0, .
Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.
При система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
.
Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде
Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
.
Здесь х2 – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид .
Таким образом, матрица А имеет три собственных значения
, а нормированные собственные векторы имеют вид
, .
Задачи 61–70
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
Задача 69: .
Решение.
Составим матрицу данной квадратичной формы и найдём её собственные значения: .
Корнями характеристического уравнения являются числа и .
При система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
.
Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде
Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
.
Соответствующий собственный вектор имеет вид .
Нормируя собственные векторы, получим
и .
Матрица перехода Т к новому базису имеет вид .
Вводим замену переменных
Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:
После преобразования выражения получим
,
Получим уравнение эллипса
Контрольная работа № 2.
Введение в математический анализ
Задачи 76–80