- •Математическая логика
- •Лекция 2. Алгебра высказываний
- •X,y,z, . . . Или их отрицаний.
- •Представление произвольной двузначной функции посредством
- •Лекция 5. Теоремы о выводимых формулах
- •Лекция 7. Предикаты и кванторы
- •Определение теории первого порядка
- •Лекция 9. Теорема построения
- •X на терм u, если a не содержит части вида ∃y b, для любой перемен-
- •Лекция 10. Модель теории первого порядка
- •Лекция 11. Теорема о полноте
- •Изомофизм моделей. Категоричные теории
- •Лекция 12. Алгоритмы и машина Тьюринга
- •Машина Тьюринга
- •0 Или 1. Если каретка, расположена над некоторой ячейкой с символом 0
- •Тезис Черча
- •Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •Лекция 13. Теорема Геделя о неполноте
Лекция 5. Теоремы о выводимых формулах
Рассмотрим основные свойства выводимости, в которых A и B —
произвольные формулы исчисления высказываний. Приведем первое из
этих свойств: если выводима формула A ∨ B, то выводима формула
B ∨ A. По существу это новое правило вывода. Поэтому мы формули-
руем его в следующем виде.
СВОЙСТВО 1 Справедливо правило вывода (коммутативность)
A ∨ B
B ∨ A
. (13)
Доказательство. Дано, что _ A ∨ B. Необходимо доказать _ B ∨ A.
Применим правило сечения
A ∨ B, ¬A ∨ A
B ∨ A
. (14)
Посылка A∨B выводима по условию теоремы. Посылка ¬A∨A выводи-
ма, так как является пропозициональной аксиомой. Следовательно, за-
ключение правила B ∨A также является выводимой формулой. Свойство
доказано.
СВОЙСТВО 2 Справедливо правило
(A ∨ B) ∨ C
A ∨ (B ∨ C)
. (15)
Доказательство. Установим, что _ A ∨ (B ∨ C) в 6 шагов.
1. _ (A ∨ B) ∨ C по условию,
2. _ C ∨ (A ∨ B) по правилу коммутативности,
3. _ (C ∨ A) ∨ B по правилу ассоциативности,
4. _ B ∨ (C ∨ A) по правилу коммутативности,
5. _ (B ∨ C) ∨ A по правилу ассоциативности,
6. _ A ∨ (B ∨ C) по правилу коммутативности.
Свойство доказано.
По существу мы установили
23
СВОЙСТВО 3 Если выводима формула (A ∨ B) ∨ C, то выводимы
все формулы, полученные из нее с помощью произвольной цикличе-
ской перестановки членов и произвольной расстановки скобок.
СВОЙСТВО 4 Формула ¬¬A∨B выводима тогда и только тогда,
когда выводима формула A ∨ B.
Доказательство. Пусть выводима формула ¬¬A ∨ B. Применим пра-
вило сечения
¬A ∨ A, ¬¬A ∨ B
A ∨ B
. (16)
Посылки ¬¬A ∨ B и ¬A ∨ A выводимы (первая — пропозициональная
аксиома, вторая по условию ). Следовательно, _ A ∨ B.
Обратно, пусть выводима формула A ∨ B. Применим правило сечения
A ∨ B, ¬A ∨¬¬A
B ∨ ¬¬A
. (17)
Посылка A ∨ B выводима по условию. Посылка ¬A ∨ ¬¬A выводи-
ма, т.к. _ ¬¬A ∨ ¬A (пропозициональная аксиома) и по коммутативно-
сти _ ¬A ∨ ¬¬A. Получим _ B ∨ ¬¬A и по свойству коммутативности
_ ¬¬A ∨ B.
Свойство доказано.
СВОЙСТВО 5 Пусть дана формула A = A1 ∨ A2 · · · ∨ An, у кото-
рой выводим один из ее членов Ai, где i = 1, 2, . . ., n. Тогда выводима
формула A.
Доказательство. Если i = n, то применим несколько раз правило рас-
ширения. Получим
_ An−1 ∨ An, _ An−2 ∨ An−1 ∨ An, . . . , _ A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An,
т.е. _ A. Если i _= n, то рассмотрим C = Ai+1 ∨ . . . ∨ An. Как и выше
получаем
_ Ai ∨ C, _ Ai ∨ Ai+1 ∨ C, . . . , _ A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An,
т.е. _ A. Свойство доказано.
СВОЙСТВО 6 Пусть дана формула A = A1 ∨ A2, . . . , ∨An, причем
для некоторых ее членовAi, Aj, где i, j ∈ {1, 2, . . ., n}, выводимафор-
мула Ai ∨ Aj . Тогда выводима формула A.
Доказательство проводим индукцией по числу n. Пусть A—контрпример
с наименьшим n. Если i = j, то _ Ai ∨ Ai. По правилу сокращения _ Ai.
По предыдущей теореме _ A и A — не контрпример. Поэтому считаем
i _= j. С учетом _ Aj ∨ Ai можно считать, что i < j.
Если i > 1, то формула B = A2 ∨ A3, . . . , ∨An содержит члены Ai, Aj,
причем _ Ai ∨ Aj . Тогда по индукции _ B и по правилу расширения _ A.
Пусть i = 1. Тогда _ A1 ∨ Aj. Если при этом j = 2, то _ A1 ∨ A2.
Обозначим C = A3, . . . , ∨An. По правилу расширения _ (A1 ∨ A2) ∨ C.
По правилу ассоциативности _ A = A1 ∨ (A2 ∨ C), что и нужно.
Пусть j > 2. По индукции получаем _ A1 ∨ C для C = A3 ∨ · · · ∨ An.
Тогда
1. _ C ∨ A1 (по коммутативности),
2. _ (C ∨ A1) ∨ A2 (по правилам расширения и коммутативности),
3. _ C ∨ (A1 ∨ A2) (по ассоциативности),
4. _ (A1 ∨ A2) ∨ C (по коммутативности),
5. _ A1 ∨ (A2 ∨ C) (по свойству 3),
т.е. _ A.
Свойство доказано.
СВОЙСТВО 7 Пусть дана формула A = A1 ∨ A2 ∨ · · ·∨ An, причем
для некоторых ее членов Ai1, Ai2, . . ., Aim выводима формула
Ai1
∨ Ai2
∨ · · · ∨ Aim. (18)
Тогда выводима даннаяформула A.
Доказательство проводим индукцией по числу m. Пусть A — контрпри-
мер с наименьшим m. По свойствам 5 и 6 имеемm > 2.
Нам дана выводимая формула Ai1
∨ Ai2
∨ · · · ∨ Aim, т.е. формула
Ai1
∨ (Ai2
∨ · · · ∨ (Aim−1
∨ Aim)), по соглашению о правосторонней рас-
становке скобок. Рассмотрим другую формулу
(Ai1
∨ Ai2) ∨ Ai3
∨ · · · ∨ Aim. (19)
Она выводима по правилу ассоциативности и с учетом выводимости фор-
мулы (18). Она содержит m − 1 членов следующего вида:
один член Ai1
∨ Ai2и m − 2 членов Ai3, . . . , Aim. (20)
По индукции, если выводима формула, составленная из этихm−1 чле-
нов, то выводима формула F, содержащая эти члены. Рассмотрим в ка-
честве F формулу
(Ai1
∨ Ai2) ∨ A. (21)
Формула (19) составлена из из ее m − 1 членов формулы (21) и выво-
дима. Поэтому по индукции выводима формула (21). Тогда
1. _ (Ai2
∨ A) ∨ Ai1 (по ассоциативности),
2. _ (Ai2
∨ A) ∨ A ( по предыдущему свойству),
3. _ Ai2
∨ (A ∨ A) (по ассоциативности),
4. _ (A ∨ A) ∨ Ai2(по коммутативности),
5. _ (A ∨ A) ∨ (A ∨ A) (по предыдущему свойству),
6. _ A ∨ A (по правилу сокращения),
7. _ A (по правилу сокращения).
Свойство доказано.
Замечание. Из данного свойства следует, что перестановка членов в
формуле A = A1∨A2∨· · ·∨An, не влияет на выводимость этой формулы.
СВОЙСТВО 8 Справедливо правило
¬A ∨ C, ¬B ∨ C
¬(A ∨ B) ∨ C
. (22)
Доказательство. Имеем:
1. _ ¬(A ∨ B) ∨ (A ∨ B) (по пропозициональной аксиоме),
2. _
_
¬(A ∨ B) ∨ A
_
∨ B (по свойству 3),
3. _ B ∨
_
¬(A ∨ B) ∨ A
_
(по свойству 3).
Итак, в следующем правиле сечения все посылки выводимы
B ∨
_
¬(A ∨ B) ∨ A
_
, ¬B ∨ C
(¬(A ∨ B) ∨ A) ∨ C
.
Поэтому
_
¬(A ∨ B) ∨ A
_
∨ C. По циклической перестановке членов
имеем _ A ∨
_
C ∨ ¬(A ∨ B)
_
и по дано _ ¬A ∨ C.
26
По правилу сечения
A ∨
_
C ∨ ¬(A ∨ B)
_
, ¬A ∨ C _
C ∨¬(A ∨ B)
_
∨ C
получаем _
_
C ∨ ¬(A ∨ B)
_
∨ C. Из членов этой выводимой формулы
составлена формула ¬(A ∨ B) ∨ C. По свойству 6 она сама выводима.
Свойство доказано.
Лекция 6. Совпадение классов выводимых и тожде-
ственно истинных формул
В лекции 2 мы сформулировали следующую задачу: «получить до-
статочно простой способ конструирования тождественно истинных фор-
мул—законов логики высказываний». В предыдущей лекции рассмотрен
класс выводимых формул. Формулы этого класса по определению имеют
простую и обозримую конструкцию.
Мы докажем совпадение понятий «выводимая формула» и «тожде-
ственно истинная формула». Тем самым мы получим полное описание
тождественно истинных формул, то есть законов логики высказываний.
ТЕОРЕМА 8 Всякая выводимая формула является тождествен-
но истинной формулой.
Доказательство. Пусть дана произвольная формула X. Напомним
определение выводимости.
1. Пропозициональные аксиомы, то есть формулы вида ¬A∪A - выво-
димые формулы.
2. Если посылки правила вывода - выводимые формулы, то заключение
- выводимая формула,
3. Выводимость формулы X получается получается несколькими при-
менениями правил 1 и 2.
Правила вывода имеют следующий вид.
A
B ∨ A
правило расширения,
A ∨ A
A
правило сокращения,
A ∨ (B ∨ C)
(A ∨ B) ∨ C
правило ассоциативности,
A ∨ B, ¬A ∨ C
B ∨ C
правило сечения.
28
Каждой формуле X однозначно приписан наименьший номер шага, на
котором она получена. Доказательство теоремы проведем индукцией по
этому номеру n.
Пусть n = 1. Тогда X - пропозициональная аксиома, т.е. X = ¬A ∨ A
для некоторой формулы A. Формула A содержит буквы, которым при-
даются значения истина или ложь. Значения формулы A могут быть как
истина так и ложь. Однако формула X всегда истинна, так как одна из ее
частей A или ¬A является истинной.
Предположим, утверждение верно для всех формул с номером n. По-
кажем справедливость утверждения для формул с номером n + 1. Пусть
формула X имеет номер n+1. Тогда она совпадает с заключением одного
из правил вывода, где где в посылке расположены формулы с номером n.
Они тождественно истинны по предположению индукции.
Возможны 4 случая для вида правила вывода.
1. Пусть рассматривается правило расширения с посылкой A и заклю-
чением X = B ∨ A. Так как посылка A — тождественно-истинная
формула, то значения A всегда равны И. Поэтому значения форму-
лы X = B ∨ A всегда равны И, т.е. X — тождественно истинная
формула.
2. Пусть имеется правило сокращения с посылкой A ∨ A и заключени-
ем A. Так как посылка A ∨ A—тождественно истинная формула, то
заключениеA тождественно истинно. Действительно, если при неко-
тором наборе букв, входящих в A значение A равно Л, то значение A
при этом наборе букв равно Л∨ Л=Л. Это противоречие, так как по-
сылка A ∨ A—тождественно истинная формула,
3. Пусть мы имеем правило правило ассоциативности с посылкой A ∨
(B ∨ C) и заключением (A ∨ B) ∨ C. Так как посылка тождественно
истинна, то при любом наборе значений букв, входящих в формулы
A,B,C, среди значений есть значение И(иначе значение X равно
Л∨(Л∨ Л)= Л). Тогда заключение (A∨B)∨C также принимает зна-
чение И. Получили, что формула (A∨B) ∨C тождественно истинна.
4. Пусть имеется правило сечения с двумя посылками A ∨ B и ¬A ∨ C
(которые тождественно истинны) и заключением B ∨ C. Предполо-
жим, что при некотором наборе букв, входящих в формулы A,B,C,
значение заключения B ∨ C есть Л. Тогда значение формулы B и
29
значение C есть Л. Если значение формулы A равно Л, то значение
формулы A ∨ B равно Л, противоречие с тождественной истинно-
стьюA∨B. Если значение формулы A равно И, то значение формулы
¬A∨C равно Л, противоречие с тождественной истинностью ¬A∨C.
Значит формула B ∨ C тождественно истинна. Теорема доказана.
Докажем обратное утверждение для теоремы 8.
ТЕОРЕМА 9 Всякая тождественно истиннаяформула является
выводимой формулой.
Доказательство. Пусть формула A является тождественно истинной.
Тогда тождественно истинна формула A ∨ A. Достаточно проверить ее
выводимость. Действительно, из выводимости формулы A∨A по правилу
сокращения следует выводимость формулы A, что и нужно.
Вместо доказательства выводимости формулы A ∨ A докажем более
общий факт:
если формула A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An, где n _ 2 — тождественно
истинна, то она выводима.
При n = 2 и A1 = A2 = A получим то, что требуется. Итак, дано, что
формула
X = A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An (23)
является тождественно истинна и n _ 2. Докажем, что X - выводимая
формула, рассматривая несколько случаев.
Случай 1. Рассмотрим вначале случай, когда число символов в каждой
формуле A1, A2, . . ., An равно 1 или 2. Из определения формулы следует,
что формулы A1, A2, . . ., An являются буквами или отрицанием букв. По-
этому формула X — элементарная дизъюнкция и имеет вид, подобный
виду: X = C ∨ ¬D ∨ A ∨ ¬C, где A,D,C —буквы. Элементарная дизъ-
юнкция является тождественно истиной, тогда и только тогда, когда в нее
входит некоторая буква вместе со своим отрицанием.
Поэтому в формуле X есть вхождение некоторой буквы A вместе с
вхождением отрицания ¬A. Выводимость формулы не зависит от по-
рядка членов по свойству 7. Переставляя компоненты считаем, что
X = X1 ∨ X2 ∨ . . . ∨ (¬A ∨ A). Имеем_ ¬A∨A (пропозициональная ак-
сиома). Применяя несколько раз правило расширения, получим _ X.
Случай 1 рассмотрен.
Предположим, что утверждение теоремы 2 не выполняется.Среди всех
формул X, которые не удовлетворяют заключению ( т.е. не являются вы-
водимыми) рассмотрим контрпримерX = A1∨A2∨· · ·∨An с наименьшим
количеством символов.
Рассмотрим строение каждого члена A1, A2, . . .An формулы X. По-
скольку cлучай 1 рассмотрен, то можно считать, что среди членов
A1, A2, . . .An есть член Ai, который не является буквой и не является от-
рицанием буквы. Члены A1, A2, . . .An в записи X можно переставлять; по
свойству 7 это не влияет на выводимость формулы. Поэтому считаем, что
A1 не буква и не является отрицанием буквы. Любая формула X, отлич-
ная от буквы, построена из ранее полученных формул Y и Z с помощью
одного из двух действий: 1)X = ¬Y или 2)X = Y ∨Z. Если при этом фор-
мула X отличная от отрицания буквы, то в случае 1) имеем 1 а) X = ¬¬Z
или 1 б) X = ¬(Y ∨ Z). Поэтому выполнена одна из 3 возможностей:
1. A1 = ¬¬B,
2. A1 = ¬(B ∨ C),
3. A1 = B ∨ C.
Обозначим D = A2 ∨ · · · ∨ An.
Случай 1 A1 = ¬¬B. Тогда X = (¬¬B) ∨ D. Рассмотрим новую
формулу X1 = B ∨ A2 ∨ . . .An = B ∨ D. Формула X1 принимает оди-
наковые значения с формулой X, и поэтому, X1 тождественно истинна.
Она имеет на 2 символа меньше, чем формула X. По индукции заключа-
ем _ X1 = B ∨ D. о свойству выводимости 4 получаем _ X = ¬¬B ∨ D
Случай 2 A1 = ¬(B ∨ C). Тогда X = ¬(B ∨ C) ∨D. Введем две новые
формулы X1 = ¬B ∨ A2 ∨ . . .An = ¬B ∨ D и X2 = ¬C ∨ A2 ∨ . . .An =
¬C ∨ D. Методом от противного установим тождественную истинность
формул X1 и X2. Предположив, что при некотором наборе значений букв
формула X1 ложна. Получим, что значение X1 и значение D ложны. То-
гда значение формулы X = ¬(B ∨C)∨D ложно, независимо от значения
C. Противоречие с тем, что X тождественно истинна. Рассуждения для
X2 аналогичны. Итак, формулы X1 = ¬B ∨ D и X2 = ¬C ∨ D тожде-
ственно истинны и выводимы по предположению индукции. По свойству
8 выводима формула X = ¬(B ∨ C) ∨ D.
Случай 3 A1 = B ∨ C. Подставив в формулу X, получим
X = (B ∨ C) ∨ A2 ∨ . . .An = (B ∨ C) ∨ D Выводимость формулы X
равносильна выводимости формулы Y = B∨(C∨D) = B∨C∨A2∨. . .An
со стандартной расстанокой скобок и числом членов на 1 больше, чем
в X. Число символов тоже, что и в формуле X. Операцию перехода от
формулы X к формуле Y назовем «измельчением звеньев». Она не меня-
ет число символов в формуле. Поэтому мы могли среди контрпримеров с
минимальным числом символов выбрать контрпример, не допускающий
дальнейшего измельчением членов. Тогда последний случай невозможен.
Теорема доказана.
Мы завершили раздел логики, относящийся к исчислению высказыва-
ний.