- •Математическая логика
- •Лекция 2. Алгебра высказываний
- •X,y,z, . . . Или их отрицаний.
- •Представление произвольной двузначной функции посредством
- •Лекция 5. Теоремы о выводимых формулах
- •Лекция 7. Предикаты и кванторы
- •Определение теории первого порядка
- •Лекция 9. Теорема построения
- •X на терм u, если a не содержит части вида ∃y b, для любой перемен-
- •Лекция 10. Модель теории первого порядка
- •Лекция 11. Теорема о полноте
- •Изомофизм моделей. Категоричные теории
- •Лекция 12. Алгоритмы и машина Тьюринга
- •Машина Тьюринга
- •0 Или 1. Если каретка, расположена над некоторой ячейкой с символом 0
- •Тезис Черча
- •Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •Лекция 13. Теорема Геделя о неполноте
X,y,z, . . . Или их отрицаний.
Пример. B = Y ∧ ¬Y ∧ Z ∧ Y ∧¬X
Отметим, что в формуле A входит буква Y вместе со своим отрицанием
¬Y . Придадим любые значения И, Л буквам X, Y,Z в формуле A. Тогда
одно из значений Y или ¬Y в A будет истинно. Поэтому значение форму-
лы A всегда равно И. Следовательно, A является тождественно истинной
формулой.
ТЕОРЕМА 1 Элементарная дизъюнкция является тождествен-
но истиной, тогда и только тогда, когда в нее входит некоторая
буква вместе со своим отрицанием.
Доказательство. Предположим, что в элементарную дизъюнкцию A вхо-
дит некоторая буква вместе со своим отрицанием. Как и выше получим,
что A—тождественно истинна.
Обратно, пусть A—тождественно истинна. Предположим противное,
что в A нет буквы, входящей вместе со своим отрицанием. Построим на-
бор значений букв, при которых A ложна, это противоречит условию и
завершит доказательство. Правило построения набора следующее. Про-
сматриваем слева направо буквы в формуле A. Если буква входит в фор-
мулу без отрицания, то присваиваем ей значение Л, если с отрицанием –
значение И. Тогда значение формулы A имеет вид Л∨ Л∨ . . .∨Л и рав-
но Л. Заметим, что осуществимость процедуры присваивания возможна
лишь тогда, когда в A нет буквы, входящей вместе со своим отрицанием.
Иначе, нам пришлось бы одной и тойже букве присваивать одновременно
значение Ии значение Л. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2 Элементарная конъюнкция является тождествен-
но ложной, тогда и только тогда, когда в нее входит некоторая
буква вместе со своим отрицанием.
Доказательство. Предположим, что в элементарную конъюнкцию A вхо-
дит некоторая буква вместе со своим отрицанием. Очевидно, чтоA– тож-
дественно ложная формула.
Обратно, пусть A тождественно ложна. Предположим противное, в A
нет буквы, входящей вместе со своим отрицанием. Найдем набор значе-
ний букв, при которых A истинна, это противоречит условию. Просмат-
риваем слева направо буквы в формуле A. Если буква входит в формулу
без отрицания, то присваиваем ей значение И, если с отрицанием – зна-
чение Л. Тогда значение формулы A имеет вид И∧ И∧ . . .∧Ии, поэтому,
равно И, противоречие. Теорема доказана.
Напомним определение равносильности формул.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 Две формулы A и B называются равносильны-
ми, если при любом наборе значений переменных, входящих в эти
формулы, истинностные значения формул A и B равны.
Если формулы A и B равносильны, то записываем A ≡ B.
Приведем основные законы, связанные с равносильностью формул,
полученные во вводном курсе математики.
ТЕОРЕМА 3 Пусть A, B, C —произвольные формулы алгебры вы-
сказываний. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. A ∧ A ≡ A,
2. A ∨ A ≡ A,
_
—свойства идемпотентности
3. A ∧ B ≡ B ∧ A,
4. A ∨ B ≡ B ∨ A,
_
—свойства коммутативности
5. A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C,
6. A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C,
_
—свойства ассоциативности
7. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C),
8. A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C),
_
—свойства дистрибутивности
12
9. ¬(A ∧ B) ≡ ¬A∨¬B,
10. ¬(A ∨ B) ≡ ¬A∧¬B,
_
—свойства де Моргана
11. ¬(¬A) ≡ A, —свойство двойного отрицания
12. A → B ≡ ¬B →¬A, —свойство контрапозиции
13. A → B ≡ ¬A ∨ B,
14. A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A),
Как в математике, так и в обычной речи можно заменять высказывание
на равносильное. Например, можно сказать «неверно, что 3 больше 1 и
11 делится на 2», или сказать «неверно, что 3 больше 1 или неверно, что
11 делится на 2».Мы применили равносильность вида (9).
Мы можем заменить произвольную формулу X на равносильную фор-
мулу Y , в котором есть только следующие логические знаки: ∨, ∧ и ¬.
Для этого выполним следующие преобразования формулы X.
1. Заменим любую часть A ↔ B в формуле X на (A → B) ∧ (B → A)
по (14). Получится равносильная с X формула без знака↔.
2. Заменим любую часть A → B на ¬A ∨ B и избавимся от знака→.
Итак, в алгебре высказываний обойтись только следующими логически-
ми знаками: ∨, ∧ и ¬.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 Конъюнктивной нормальной формой (КНФ)
для формулы X называется равносильная ей формула Y , являюща-
яся конъюнкцией элементарных дизъюнкций.
Укажем способ для получения конъюнктивной нормальной формы для
формулы X. Избавимся, как было сказано выше, от знаков, отличных от
∨, ∧ и ¬. С помощью дистрибутивных законов и законов ¬(A ∧ B) ≡
¬A∨¬B , ¬(A∨B) ≡ ¬A∧¬B и ¬¬A ≡ A постепенно преобразуем X и
промежуточные формулы к виду X1 ∧ X2. Проделав тоже самое с X1, X2
и их частями мы получим конъюнкцию элементарных дизъюнкций.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ)
для формулы X называется равносильная ей формула Y , являюща-
яся дизъюнкцией элементарных конъюнкций.
13
Рассмотрим способ для получения дизъюнктивной нормальной формой
для формулы X. Как и выше избавимся вначале от знаков, отличных от
∨, ∧ и ¬. Затем преобразуем X и промежуточные формулы к видуX1∨X2.
Проделав это несколько раз, получим дизъюнкцией элементарных конъ-
юнкций. Можно привести и более строгое доказательство индукцией по
числу букв в формуле X.
Теперь можно получить критерий тождественно истинной и тожде-
ственно ложной формулы.
ТЕОРЕМА 4 ФормулаX является тождественно истинной, то-
гда и только тогда, когда в ее КНФ каждая элементарная дизъ-
юнкция имеет вхождение некоторой буквы вместе со своим отри-
цанием.
Доказательство. Предположим, что X1 — КНФ для формулы X и X1 =
Y ∧ Z ∧ . . ., где Y,Z, . . . – элементарные дизъюнкции.
Если каждая элементарная дизъюнкция Y,Z, . . . имеет вхождение
некоторой буквы вместе со своим отрицанием, то при любом значении
букв, входящих в A, значения Y,Z, . . . равны И. Тогда значения X1 и X
равны И.
Обратно, пусть формула X тождественно истинна.
Тогда элементарные дизъюнкции Y,Z, . . . также тождественно истин-
ны и, поэтому, имеют вхождение некоторой буквы вместе со своим отри-
цанием. Теорема доказана.
Аналогично получаем критерий тождественно тождественно ложной
формулы.
ТЕОРЕМА 5 ФормулаX являетсятождественно ложной,тогда
и только тогда, когда в ее ДНФ каждая элементарная конъюнк-
ция имеет вхождение некоторой буквы вместе со своим отрица-
нием.