Контрольная работа № 1. Теория вероятностей
Выполнил:
Задача № 1.32
В урне 6 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают шар – отмечается его цвет и он возвращается в урну, после этого вынимают второй шар. Найти вероятность того, что шары будут белые.
Решение:
Обозначим: событие А - появление двух белых шаров. Событие А представляет собой произведение двух событий:
А=
где - появление белого шара при первом вытаскивании ( из 13 шаров);
- появление белого шара при втором вытаскивании (тоже из 13 шаров, т.к. первый шар мы кладём обратно).
По теореме умножения вероятностей
Ответ: P(A)=0,213.
Задача № 2.6
В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5 q6=0,6 . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение:
Пусть P – вероятность прохождения сигнала со входа на выход
Поскольку события отказа элементов в совокупности независимы, то общая формула для вероятности P запишется следующим образом:
Ответ: P=99,4%.
Задача 3.25
Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Определить вероятность того, что отказал второй блок.
Решение:
Можно сделать следующие предположения:
- отказал 1-ый блок, 2-ой и 3-ий исправны. Вероятность данного события:
- отказал 2-ой блок, 1-ый и 3-ий исправны. Вероятность данного события:
- отказал 3-ий блок, 2-ой и 1-ый исправны. Вероятность данного события:
Так как известно, что отказал один блок, очевидно, что условные вероятности остальных гипотез равны нулю.
Событие достоверно при гипотезах , следовательно соответствующие условные вероятности равны единице:
По формуле полной вероятности, вероятность того, что откажет один блок:
По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказал 3-ий блок, равна:
Ответ:
Задача 4.7
Рабочий обслуживает десять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течение часа этих требований будет от трех до пяти.
Решение:
- Формула Бернулли
p=0,05
q=1-0,05=0,95
P=P10(3)+ P10(4)+ P10(5)
P=P10(3)+ P10(4)+ P10(5)==0,01132
Ответ:P=0,01132.
Задача 5.25
В задачах 5.1-5.40 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
5.25 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,35 |
0,05 |
Решение:
F(x=2)=0
F(x=4)=0,1
F(x=6)=0,1+0,2=0,3
F(x=8)=0,1+0,2+0,3=0,6
F(x=10)=0,1+0,2+0,3+0,35=0,95
F(x>10)=1
Ответ:; .
Задача 6.24
В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Вариант |
x,c) |
A |
b |
|
|
6.24 |
1 |
4 |
1 |
2,5 |
Решение:
1)Вычислим константу исходя из условия нормировки:
Отсюда константа :
-
Определим математическое ожидание СВ Х:
-
Определим дисперсию СВ Х:
-
Определим функцию распределения величины Х:
-
Определим вероятность попадания величины Х в заданный интервал :
Ответ:
Задача 7.32
В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y).
Вариант |
a |
B |
|
7.32 |
-1 |
2 |
Решение:
-
Построим график случайной величины для в интервале значений и определим диапазон значений :.
-
В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для :
обратных функций не существует
обратных функций не существует
3) Вычислим модули производных обратных функций:
Рис. 7.1 – график функции x3
Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале [-1;2] , то её плотность вероятности равна:
-
Определим плотность вероятности величины :
Ответ: