Твимс
.docxГруппа N 903002 Студент N 24
Варианты заданий: ----------------------------------------------------------------
|Номер задания | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
--------------------------------------------------------------------
|Номер варианта| 9 | 15 | 38 | 26 | 27 | 14 | 35 | 32 | 13 |
--------------------------------------------------------------------
Одномерная выборка:
-7.38 -6.08 -2.20 -5.06 -3.37 -3.94 -5.90 -4.34 -6.67 -0.74 -1.40 -1.86 -5.00 0.63 -5.21 -3.25
-3.20 -8.10 -6.40 -6.33 -9.95 -4.43 -6.63 -5.40 -8.68 -6.15 -2.34 -9.25 -0.77 -5.04 -9.11 -4.93
-4.73 -4.47 -8.82 -3.05 -3.86 -2.72 -2.31 -8.48 -6.81 -5.29 -5.55 -5.60 -4.96 -4.63 -3.50 -5.60
-6.63
Двумерная выборка:
( -2.01; 5.52) ( 1.79; 5.13) ( 5.65; -2.68) ( -8.01; 4.17) ( 2.53; 3.89)
( 2.71; 4.95) ( 4.41; 0.30) ( 5.61; 0.98) ( 1.65; 1.80) ( 2.55; -1.65)
( 1.47; 6.66) ( 2.44; 0.86) ( 2.50; 1.99) ( 1.85; -4.39) ( 6.02; 2.26)
( -1.42; -1.69) ( 3.02; 4.77) ( 6.81; -3.27) ( 0.03; 3.80) ( 3.31; 0.56)
( 1.25; 0.86) ( 0.09; 8.36) ( 1.26; 1.37) ( 1.36; 2.51) ( 6.44; 0.65)
1.9. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что все цифры одинаковы.
Решение:
Событие А состоит в том, что в шестизначном номере все цифры одинаковы.
Ответ:
2.15. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5; q6=0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение:
Найдем вероятность работы для части ветви цепи из блоков 1,2 и 3:
Вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход:
Ответ:
3.38. В двух коробках содержатся резисторы: в 1-й ‑ 5 резисторов номиналом 1 Ом и мощностью рассеивания 1 Вт , 6 резисторов- 1 Ом , 2 Вт . Во 2-ой : 4 резистора 2 Ом; 2 Вт; 4 резистора 1 Ом , 2 Вт . Найти вероятность того, что наудачу вынутый резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом , 1 Вт.
Решение:
Событие А – наудачу вынутый резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом , 1 Вт.
Гипотеза Н1 – резистор из первой коробки.
Гипотеза Н2 – резистор из второй коробки.
По формуле полной вероятности, вероятность того, что резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом, 1 Вт, будет равна:
4.26. Монету подбрасывают 100 раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?
Решение:
Ответ:
5.27. Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
xi |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
pi |
0,2 |
0,3 |
0,05 |
0,25 |
0,2 |
Решение:
Функцию распределения определим по формуле:
- для ,
- для ,
- для ,
- для ,
- для ,
- для ,
x |
≤2 |
]2;4] |
]4;6] |
]6;8] |
]8;10] |
>10 |
F(x) |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,55 |
0,8 |
1 |
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формуле:
Ответ: , .
6.14. Случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Решение.
Для определения постоянной с воспользуемся свойством плотности вероятности
5/с=1
с=5
Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности.
Окончательно имеем
Вероятность попадания в интервал :
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Ответ: , , , ,
.
7.35. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности g(y).
Решение:
Так как Х равномерно распределена в интервале , то ее плотность вероятности равна:
Построим график величины для x в интервале и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:
[-, 0[ k = 0,
[0; 0,707] k = 1,
]0,707; 1] k = 2,
]1, +] k = 0.
Так как на интервалах [-, 0 [ и ]1, +] обратная функция не существует, то для этих интервалов g(y)=0.
В интервале [0; 0,707] одна обратная функция , следовательно:
В интервале ]0,5; 1] две обратных функции:
и
Плотность вероятности величины Y определяем по формуле:
Таким образом, плотность вероятности величины Y равна
Ответ:
8.32.
9.13. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а также определить их коэффициент корреляции :
Решение:
Определим коэффициент корреляции величин U и V:
Вычислим математическое ожидание U и V:
Вычислим дисперсии и :
Рассчитаем корреляционный момент .
Для этого определим :
Определим величину коэффициента корреляции :
Ответ:
10. По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии;
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия 2 и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.
Одномерная выборка:
-7.38 -6.08 -2.20 -5.06 -3.37 -3.94 -5.90 -4.34 -6.67 -0.74 -1.40 -1.86 -5.00 0.63 -5.21 -3.25
-3.20 -8.10 -6.40 -6.33 -9.95 -4.43 -6.63 -5.40 -8.68 -6.15 -2.34 -9.25 -0.77 -5.04 -9.11 -4.93
-4.73 -4.47 -8.82 -3.05 -3.86 -2.72 -2.31 -8.48 -6.81 -5.29 -5.55 -5.60 -4.96 -4.63 -3.50 -5.60
-6.63
Решение:
График эмпирической функции распределения F*(x):
Выборка |
Вариационный ряд |
-7,38 |
-9,95 |
-6,08 |
-9,25 |
-2,20 |
-9,11 |
-5,06 |
-8,82 |
-3,37 |
-8,68 |
-3,94 |
-8,48 |
-5,90 |
-8,10 |
-4,34 |
-7,38 |
-6,67 |
-6,81 |
-0,74 |
-6,67 |
-1,40 |
-6,63 |
-1,86 |
-6,63 |
-5,00 |
-6,40 |
0,63 |
-6,33 |
-5,21 |
-6,15 |
-3,25 |
-6,08 |
-3,20 |
-5,90 |
-8,10 |
-5,60 |
-6,40 |
-5,60 |
-6,33 |
-5,55 |
-9,95 |
-5,4 |
-4,43 |
-5,29 |
-6,63 |
-5,21 |
-5,40 |
-5,06 |
-8,68 |
-5,04 |
-6,15 |
-5,00 |
-2,34 |
-4,96 |
-9,25 |
-4,93 |
-0,77 |
-4,73 |
-5,04 |
-4,63 |
-9,11 |
-4,47 |
-4,93 |
-4,43 |
-4,73 |
-4,34 |
-4,47 |
-3,94 |
-8,82 |
-3,86 |
-3,05 |
-3,50 |
-3,86 |
-3,37 |
-2,72 |
-3,25 |
-2,31 |
-3,20 |
-8,48 |
-3,05 |
-6,81 |
-2,72 |
-5,29 |
-2,34 |
-5,55 |
-2,31 |
-5,60 |
-2,20 |
-4,96 |
-1,86 |
-4,63 |
-1,40 |
-3,50 |
-0,77 |
-5,60 |
-0,74 |
-6,63 |
0,63 |
i |
Ai |
Bi |
hi |
Vi |
p*i |
f*i |
1 |
-9,95 |
-8,44 |
1,511 |
6 |
0,12 |
0,0810 |
2 |
-8,44 |
-6,93 |
1,511 |
2 |
0,04 |
0,0270 |
3 |
-6,93 |
-5,42 |
1,511 |
12 |
0,24 |
0,1620 |
4 |
-5,42 |
-3,90 |
1,511 |
14 |
0,29 |
0,1890 |
5 |
-3,90 |
-2,39 |
1,511 |
7 |
0,14 |
0,0945 |
6 |
-2,39 |
-0,88 |
1,511 |
5 |
0,10 |
0,0675 |
7 |
-0,88 |
0,63 |
1,511 |
2 |
0,04 |
0,0270 |
i |
Ai |
Bi |
hi |
Vi |
p*i |
f*i |
1 |
-9,95 |
-7,74 |
2,210 |
7 |
0,14 |
0,0646 |
2 |
-7,74 |
-6,24 |
1,500 |
7 |
0,14 |
0,0952 |
3 |
-6,24 |
-5,35 |
0,895 |
7 |
0,14 |
0,1596 |
4 |
-5,35 |
-4,83 |
0,515 |
7 |
0,14 |
0,2774 |
5 |
-4,83 |
-3,68 |
1,150 |
7 |
0,14 |
0,1242 |
6 |
-3,68 |
-2,33 |
1,355 |
7 |
0,14 |
0,1054 |
7 |
-2,33 |
0,63 |
2,955 |
7 |
0,14 |
0,0483 |
Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним, вычисляется по формуле
Несмещенная состоятельная оценка дисперсии равна
Доверительный интервал для математического ожидания с надежностью :
Доверительный интервал для дисперсии с надежностью :
По виду гистограмм выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:
H0 : ,;
H1 : f(x) N(m, ).
Используя метод моментов определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического (нормального) закона распределения:
,
Значение критерия вычисляем по формуле :
При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае
Теоретические вероятности pi рассчитываем по формуле:
После этого проверяем выполнение контрольного соотношения
Тогда
После этого из таблицы распределения 2 выбираем критическое значение . Так как , то гипотеза H0 принимается (нет основания ее отклонить).
По виду гистограмм выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:
H0 : ,;
H1 : f(x) N(m, ).
Теоретическая функция распределения F0(x) нормального закона равна
.
Максимальная разность по модулю между графиками F*(x) и F0(x)
Z = 0,08 при х = -6,75.
Вычислим значение критерия Колмогорова
Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение Так как < 1,36 , то гипотеза о нормальном законе распределения принимается.
11. По выборке двумерной случайной величины:
- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ( = 0,95);
- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;
- вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии ;
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
Двумерная выборка:
( -2.01; 5.52) ( 1.79; 5.13) ( 5.65; -2.68) ( -8.01; 4.17) ( 2.53; 3.89)
( 2.71; 4.95) ( 4.41; 0.30) ( 5.61; 0.98) ( 1.65; 1.80) ( 2.55; -1.65)
( 1.47; 6.66) ( 2.44; 0.86) ( 2.50; 1.99) ( 1.85; -4.39) ( 6.02; 2.26)
( -1.42; -1.69) ( 3.02; 4.77) ( 6.81; -3.27) ( 0.03; 3.80) ( 3.31; 0.56)
( 1.25; 0.86) ( 0.09; 8.36) ( 1.26; 1.37) ( 1.36; 2.51) ( 6.44; 0.65)
Решение:
Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна:
Состоятельная оценка коэффициента корреляции:
Доверительный интервал с надежностью для коэффициента корреляции для случая двумерного нормального распределения:
,
Где , ,
Доверительный интервал:
Гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости:
H0: ;
H1: .
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости при следующих данных: n = 25; = 0,05. Предположим, что двумерный закон распределения – нормальный.
Вначале вычислим значение критерия t:
Из таблицы Стьюдента выбираем критическое значение Так как то гипотеза H0 принимается.
Оценки параметров a0 и a1 линии регрессии :
Литература
-
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с.
-
Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с.
-
Аксенчик А.В., Волковец А.И., Корбут А.А., Коренская И.Н. Методические указания и контрольные задания по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей БГУИР заочной формы обучения - Мн.: БГУИР, 2002.- 60с.