Приближенное решение краевой задачи для дифференциального уравнения гиперболического типа
Пример4. Найти решение краевой задачи для дифференциального уравнения гиперболического типа (уравнение колебания струны) методом сеток
,
,
,
,
.
Граничные и начальные условия для искомой задачи
,
,
,
,
,
,
.
Получим сеточную область
,
для этого, полагая,
,
имеем
,
.
При выбранных значениях
соблюдается условие устойчивости
разностного уравнения
,
где
.
Применяя метод сеток по схеме
,
,
,
,
,
,
,
получим таблицу значений
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
0,0000 |
0,0500 |
0,1000 |
0,1500 |
0,2000 |
0,2500 |
0,3000 |
0,3500 |
0,4000 |
-1 |
|
-0,0048 |
0,0945 |
0,1922 |
0,2871 |
0,3774 |
0,4618 |
0,5388 |
0,6068 |
0,6644 |
0 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0998 |
0,1980 |
0,2933 |
0,3840 |
0,4688 |
0,5460 |
0,6143 |
0,6720 |
1 |
0,0125 |
0,0001 |
0,1035 |
0,2008 |
0,2949 |
0,3846 |
0,4682 |
0,5442 |
0,6112 |
0,6676 |
2 |
0,0250 |
0,0003 |
0,1011 |
0,2005 |
0,2921 |
0,3791 |
0,4601 |
0,5334 |
0,5976 |
0,6512 |
3 |
0,0375 |
0,0007 |
0,0973 |
0,1924 |
0,2847 |
0,3676 |
0,4443 |
0,5135 |
0,5734 |
0,6227 |
4 |
0,0500 |
0,0013 |
0,0920 |
0,1814 |
0,2679 |
0,3499 |
0,4210 |
0,4844 |
0,5385 |
0,5820 |
5 |
0,0625 |
0,0020 |
0,0854 |
0,1675 |
0,2466 |
0,3213 |
0,3899 |
0,4460 |
0,4929 |
0,5291 |
6 |
0,0750 |
0,0028 |
0,0774 |
0,1506 |
0,2209 |
0,2867 |
0,3464 |
0,3985 |
0,4366 |
0,4638 |
7 |
0,0875 |
0,0038 |
0,0680 |
0,1308 |
0,1907 |
0,2460 |
0,2953 |
0,3369 |
0,3694 |
0,3862 |
8 |
0,1000 |
0,0050 |
0,0572 |
0,1080 |
0,1559 |
0,1993 |
0,2365 |
0,2661 |
0,2866 |
0,2963 |
9 |
0,1125 |
0,0063 |
0,0450 |
0,0823 |
0,1166 |
0,1464 |
0,1701 |
0,1862 |
0,1930 |
0,1891 |
10 |
0,1250 |
0,0078 |
0,0314 |
0,0536 |
0,0728 |
0,0875 |
0,0961 |
0,0970 |
0,0887 |
0,0697 |
11 |
0,1375 |
0,0095 |
0,0164 |
0,0219 |
0,0245 |
0,0225 |
0,0144 |
-0,0013 |
-0,0263 |
-0,0621 |
12 |
0,1500 |
0,0113 |
0,0000 |
-0,0127 |
-0,0284 |
-0,0486 |
-0,0749 |
-0,1089 |
-0,1522 |
-0,2063 |
13 |
0,1625 |
0,0132 |
-0,0179 |
-0,0503 |
-0,0858 |
-0,1258 |
-0,1720 |
-0,2258 |
-0,2889 |
-0,3374 |
14 |
0,1750 |
0,0153 |
-0,0371 |
-0,0910 |
-0,1478 |
-0,2092 |
-0,2767 |
-0,3519 |
-0,4110 |
-0,4509 |
15 |
0,1875 |
0,0176 |
-0,0578 |
-0,1346 |
-0,2143 |
-0,2987 |
-0,3891 |
-0,4619 |
-0,5140 |
-0,5467 |
16 |
0,2000 |
0,0200 |
-0,0799 |
-0,1812 |
-0,2854 |
-0,3943 |
-0,4839 |
-0,5512 |
-0,5976 |
-0,6246 |
17 |
0,2125 |
0,0226 |
-0,1034 |
-0,2307 |
-0,3611 |
-0,4707 |
-0,5563 |
-0,6195 |
-0,6618 |
-0,6846 |
18 |
0,2250 |
0,0253 |
-0,1283 |
-0,2833 |
-0,4160 |
-0,5232 |
-0,6063 |
-0,6670 |
-0,7066 |
-0,7267 |
19 |
0,2375 |
0,0282 |
-0,1546 |
-0,3135 |
-0,4454 |
-0,5516 |
-0,6338 |
-0,6934 |
-0,7319 |
-0,7508 |
20 |
0,2500 |
0,0313 |
-0,1570 |
-0,3167 |
-0,4492 |
-0,5560 |
-0,6387 |
-0,6987 |
-0,7375 |
-0,7568 |
|
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
0,4500 |
0,5000 |
0,5500 |
0,6000 |
0,6500 |
0,7000 |
-1 |
|
0,7100 |
0,7422 |
0,7594 |
0,7602 |
0,7431 |
0,7066 |
0 |
0,0000 |
0,7178 |
0,7500 |
0,7673 |
0,7680 |
0,7508 |
0,7140 |
1 |
0,0125 |
0,7120 |
0,7428 |
0,7586 |
0,7578 |
0,7389 |
0,7004 |
2 |
0,0250 |
0,6927 |
0,7206 |
0,7334 |
0,7295 |
0,7074 |
0,6658 |
3 |
0,0375 |
0,6598 |
0,6833 |
0,6915 |
0,6830 |
0,6564 |
0,6100 |
4 |
0,0500 |
0,6132 |
0,6307 |
0,6329 |
0,6184 |
0,5856 |
0,5330 |
5 |
0,0625 |
0,5529 |
0,5629 |
0,5576 |
0,5355 |
0,4950 |
0,4347 |
6 |
0,0750 |
0,4787 |
0,4798 |
0,4655 |
0,4342 |
0,3846 |
0,3151 |
7 |
0,0875 |
0,3907 |
0,3813 |
0,3564 |
0,3146 |
0,2543 |
0,1994 |
8 |
0,1000 |
0,2888 |
0,2674 |
0,2304 |
0,1765 |
0,1293 |
0,0922 |
9 |
0,1125 |
0,1729 |
0,1379 |
0,0874 |
0,0452 |
0,0144 |
-0,0063 |
10 |
0,1250 |
0,0383 |
-0,0070 |
-0,0473 |
-0,0746 |
-0,0905 |
-0,0962 |
11 |
0,1375 |
-0,1103 |
-0,1470 |
-0,1691 |
-0,1830 |
-0,1853 |
-0,1775 |
12 |
0,1500 |
-0,2474 |
-0,2723 |
-0,2826 |
-0,2797 |
-0,2700 |
-0,2502 |
13 |
0,1625 |
-0,3683 |
-0,3830 |
-0,3830 |
-0,3697 |
-0,3446 |
-0,3142 |
14 |
0,1750 |
-0,4731 |
-0,4790 |
-0,4701 |
-0,4479 |
-0,4139 |
-0,3695 |
15 |
0,1875 |
-0,5616 |
-0,5601 |
-0,5439 |
-0,5142 |
-0,4727 |
-0,4209 |
16 |
0,2000 |
-0,6337 |
-0,6265 |
-0,6043 |
-0,5687 |
-0,5213 |
-0,4633 |
17 |
0,2125 |
-0,6895 |
-0,6779 |
-0,6514 |
-0,6113 |
-0,5593 |
-0,4968 |
18 |
0,2250 |
-0,7288 |
-0,7144 |
-0,6849 |
-0,6420 |
-0,5869 |
-0,5214 |
19 |
0,2375 |
-0,7516 |
-0,7358 |
-0,7050 |
-0,6605 |
-0,6040 |
-0,5368 |
20 |
0,2500 |
-0,7578 |
-0,7422 |
-0,7114 |
-0,6670 |
-0,6104 |
-0,5432 |
|
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
0,7500 |
0,8000 |
0,8500 |
0,9000 |
0,9500 |
1,0000 |
-1 |
|
0,6491 |
0,5692 |
0,4654 |
0,3361 |
0,1799 |
-0,0047 |
0 |
0,0000 |
0,6563 |
0,5760 |
0,4718 |
0,3420 |
0,1852 |
0,0000 |
1 |
0,0125 |
0,6409 |
0,5588 |
0,4526 |
0,3209 |
0,1621 |
0,0000 |
2 |
0,0250 |
0,6030 |
0,5175 |
0,4079 |
0,2727 |
0,1356 |
0,0000 |
3 |
0,0375 |
0,5424 |
0,4521 |
0,3376 |
0,2227 |
0,1106 |
0,0000 |
4 |
0,0500 |
0,4591 |
0,3625 |
0,2669 |
0,1755 |
0,0871 |
0,0000 |
5 |
0,0625 |
0,3531 |
0,2739 |
0,2004 |
0,1312 |
0,0649 |
0,0000 |
6 |
0,0750 |
0,2495 |
0,1910 |
0,1383 |
0,0898 |
0,0442 |
0,0000 |
7 |
0,0875 |
0,1530 |
0,1138 |
0,0804 |
0,0512 |
0,0249 |
0,0000 |
8 |
0,1000 |
0,0637 |
0,0424 |
0,0268 |
0,0155 |
0,0070 |
0,0000 |
9 |
0,1125 |
-0,0184 |
-0,0233 |
-0,0225 |
-0,0174 |
-0,0094 |
0,0000 |
10 |
0,1250 |
-0,0933 |
-0,0833 |
-0,0675 |
-0,0474 |
-0,0244 |
0,0000 |
11 |
0,1375 |
-0,1611 |
-0,1375 |
-0,1082 |
-0,0745 |
-0,0380 |
0,0000 |
12 |
0,1500 |
-0,2217 |
-0,1860 |
-0,1445 |
-0,0988 |
-0,0501 |
0,0000 |
13 |
0,1625 |
-0,2751 |
-0,2287 |
-0,1766 |
-0,1201 |
-0,0608 |
0,0000 |
14 |
0,1750 |
-0,3212 |
-0,2656 |
-0,2043 |
-0,1386 |
-0,0700 |
0,0000 |
15 |
0,1875 |
-0,3601 |
-0,2968 |
-0,2277 |
-0,1542 |
-0,0778 |
0,0000 |
16 |
0,2000 |
-0,3965 |
-0,3221 |
-0,2467 |
-0,1669 |
-0,0842 |
0,0000 |
17 |
0,2125 |
-0,4254 |
-0,3464 |
-0,2613 |
-0,1767 |
-0,0891 |
0,0000 |
18 |
0,2250 |
-0,4467 |
-0,3646 |
-0,2763 |
-0,1835 |
-0,0925 |
0,0000 |
19 |
0,2375 |
-0,4606 |
-0,3767 |
-0,2867 |
-0,1922 |
-0,0945 |
0,0000 |
20 |
0,2500 |
-0,4668 |
-0,3828 |
-0,2925 |
-0,1977 |
-0,0997 |
0,0000 |
Проверим угловые точки:
,
.
Для
этой точки имеем
(начальное условие) и
(граничное условие) т.е.
.
,
.
Для
этой точки имеем
(начальное условие) и
(граничное условие) т.е.
.
,
,
.
,
.
Полученные результаты говорят, что численное решение отвечает начальным и граничным условиям исходной задачи.
Если
построить по полученным значениям
функции
,
то получим следующую поверхность.
Проведем сечения полученной поверхности плоскостями перпендикулярными координатным осям.
Оценку
погрешности найденных значений искомой
функции
получим из оценки погрешности аппроксимации
уравнения колебания струны
,
полагая что вычислительные погрешности
намного меньше данной оценки.
Тогда
имеем
,
следовательно, результаты имеют 4 верных
знака.
Вывод.
Из
полученных графиков можно сделать
вывод, что найденное решение поставленной
задачи качественно верно отражает
исследуемый процесс. Численные значения
функции
могут быть использованы (в пределах
погрешности) при численном моделировании
процессов описываемых уравнениями
колебания струны.