Приближенное решение краевой задачи для уравнения Лапласа в произвольной области
Пример2. Найти приближенное решение
(с точностью до
)
краевой задачи для уравнения Лапласа
в произвольной области
ограниченной
границей
методом сеток, используя метод усреднения
Либмана,
,
.
Где граница области
,
а граничное условие задачи
.
Построим область ограниченной кривой . Для решения задачи достаточно рассмотреть область в первой четверти, так как граничные условия симметричны относительно начало координат.
|
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1 |
1,25 |
1,5 |
1,75 |
2 |
|
3,0000 |
2,9941 |
2,9765 |
2,9468 |
2,9047 |
2,8498 |
2,7811 |
2,6977 |
2,5981 |
|
2,25 |
2,5 |
2,75 |
3 |
3,25 |
3,5 |
3,75 |
4 |
|
2,4804 |
2,3419 |
2,1786 |
1,9843 |
1,7489 |
1,4524 |
1,0440 |
0,0000 |
Получим сеточную область
,
для этого, полагая,
,
имеем
,
.
P.S. Такое количество узлов взяты только для простоты, что позволяет демонстрировать весь ход вычислений приближенного решения исходной задачи.
На
рисунке граничные узлы помечены точками,
а внутренние узлы находятся на пересечении
линий
;
и ограниченны границей
.
Найдем значения функции на границе:
A( |
0; |
3 |
); |
|
u(A)= |
1,5 |
B( |
1; |
2,9 |
); |
|
u(B)= |
1,95 |
C( |
2; |
2,5981 |
); |
|
u(C)= |
2,299038 |
D( |
3; |
2 |
); |
|
u(D)= |
2,5 |
E( |
3,75; |
1 |
); |
|
u(E)= |
2,375 |
F( |
4; |
0 |
); |
|
u(F)= |
2 |
Тогда по полученным значениям можно составить следующую таблицу значений:
1,5 |
1,95 |
2,299038 |
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
2,375 |
|
|
|
|
2 |
Для определения значений функции во внутренних точках области применим метод сеток по схеме
и получим таблицу значений граничных и внутренних точек, и систему уравнений
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Необходимо решить эту систему. Выпишем эту систему в матричной форме
,
где
,
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
-2 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
-1 |
4 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
0 |
-1 |
4 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
-1 |
0 |
0 |
4 |
-2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
0 |
-1 |
0 |
-1 |
4 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
6 |
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
4 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
7 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
4 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
8 |
|
0 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
4 |
-2 |
0 |
0 |
9 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
-1 |
4 |
-1 |
0 |
10 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
-1 |
4 |
-1 |
11 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
-1 |
4 |
=
Из
матричного уравнения получим
,
где
определяется следующим образом
0,3703 |
0,2795 |
0,1063 |
0,2016 |
0,2712 |
0,1458 |
0,0526 |
0,0824 |
0,1282 |
0,0766 |
0,0323 |
0,1398 |
0,4243 |
0,1454 |
0,1348 |
0,2723 |
0,1571 |
0,0559 |
0,0635 |
0,1192 |
0,0774 |
0,0333 |
0,0532 |
0,1454 |
0,3280 |
0,0673 |
0,1471 |
0,1666 |
0,0572 |
0,0345 |
0,0708 |
0,0671 |
0,0311 |
0,2016 |
0,2695 |
0,1347 |
0,5369 |
0,5403 |
0,2691 |
0,0985 |
0,2028 |
0,2743 |
0,1515 |
0,0625 |
0,1356 |
0,2723 |
0,1471 |
0,2701 |
0,6710 |
0,3160 |
0,1140 |
0,1370 |
0,2777 |
0,1659 |
0,0700 |
0,0729 |
0,1571 |
0,1666 |
0,1346 |
0,3160 |
0,5094 |
0,1729 |
0,0747 |
0,1641 |
0,1911 |
0,0910 |
0,0263 |
0,0559 |
0,0572 |
0,0493 |
0,1140 |
0,1729 |
0,3474 |
0,0284 |
0,0643 |
0,0864 |
0,1085 |
0,1649 |
0,2539 |
0,1381 |
0,4056 |
0,5478 |
0,2987 |
0,1136 |
0,4548 |
0,4138 |
0,1976 |
0,0778 |
0,1282 |
0,2383 |
0,1416 |
0,2743 |
0,5554 |
0,3282 |
0,1286 |
0,2069 |
0,5532 |
0,2436 |
0,0930 |
0,0766 |
0,1548 |
0,1343 |
0,1515 |
0,3318 |
0,3823 |
0,1728 |
0,0988 |
0,2436 |
0,4451 |
0,1545 |
0,0323 |
0,0667 |
0,0622 |
0,0625 |
0,1399 |
0,1820 |
0,2169 |
0,0389 |
0,0930 |
0,1545 |
0,3428 |
получим решение данной системы
|
1,931881 |
|
|
2,333771 |
|
2,073996 |
|
|
2,114606 |
|
2,278279 |
|
|
2,149678 |
|
2,079533 |
|
|
2,212462 |
|
2,135823 |
|
|
2,220001 |
|
2,240084 |
|
|
|
Найденные
значения функции
позволяют
получить первое приближение, в котором
значения во внутренних узлах принимаются
значения
,
а граничные значения получаются
уточнением предыдущих граничных значений
по формуле линейной интерполяции
,
где
-
граничный узел;
-
внутренний узел;
-
точка границы ближайшей к узлу
;
-
расстояние между
и
(если
,
то граничный узел
;
если
,
то граничный узел
,(например,
);
если
,
то граничный узел
)
Для начального приближения имеем следующий шаблон
3 |
1,5 |
1,95 |
2,299038 |
|
|
2 |
1,931881 |
2,073996 |
2,278279 |
2,5 |
|
1 |
2,079533 |
2,135823 |
2,240084 |
2,333771 |
2,375 |
0 |
2,114606 |
2,149678 |
2,212462 |
2,220001 |
2 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
После уточнения граничных значений получим уточненное нулевое приближение, где выделены значения :
|
0 |
-0,1 |
-0,4019 |
|
|
|
3 |
1,5 |
1,936223 |
2,312989 |
0 |
|
|
2 |
1,931881 |
2,073996 |
2,278279 |
2,5 |
-0,25 |
|
1 |
2,079533 |
2,135823 |
2,240084 |
2,333771 |
2,388743 |
|
0 |
2,114606 |
2,149678 |
2,212462 |
2,220001 |
2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Для
получения следующего (первого) приближения
(шаблона) используем схему
:
3 |
1,5 |
1,936223 |
2,312989 |
|
|
2 |
1,931881 |
2,070551 |
2,281767 |
2,5 |
|
1 |
2,079533 |
2,135823 |
2,240084 |
2,337207 |
2,388743 |
0 |
2,135823 |
2,149678 |
2,212462 |
2,220001 |
2 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
затем уточним граничные значения линейной интерполяцией
|
0 |
-0,1 |
-0,4019 |
|
|
|
3 |
1,5 |
1,936605 |
2,310645 |
0 |
|
|
2 |
1,931881 |
2,070551 |
2,281767 |
2,5 |
-0,25 |
|
1 |
2,079533 |
2,135823 |
2,240084 |
2,337207 |
2,387598 |
|
0 |
2,135823 |
2,149678 |
2,212462 |
2,220001 |
2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Процесс
будем продолжать до тех пор, пока не
будет выполнено условие (где
-
номер приближения)
.
Для
первого приближения имеем
,
поэтому продолжим этот процесс дальше:
3 |
1,5 |
1,936605 |
2,310645 |
|
|
2 |
1,930159 |
2,071519 |
2,28032 |
2,5 |
|
1 |
2,084837 |
2,134962 |
2,241815 |
2,336921 |
2,387598 |
0 |
2,135823 |
2,154982 |
2,212462 |
2,221719 |
2 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Уточняем граничные значения
|
0 |
-0,1 |
-0,4019 |
|
|
|
3 |
1,5 |
1,936498 |
2,311617 |
0 |
|
|
2 |
1,930159 |
2,071519 |
2,28032 |
2,5 |
-0,25 |
|
1 |
2,084837 |
2,134962 |
2,241815 |
2,336921 |
2,387693 |
|
0 |
2,135823 |
2,154982 |
2,212462 |
2,221719 |
2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Для
второго приближения имеем
.
Таким образом полученное приближение удовлетворяет заданной точности .
Тогда приближенное решение искомой задачи будет иметь вид:
|
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
|
|
2,3106 |
1,9366 |
1,5000 |
1,9366 |
2,3106 |
|
|
2 |
|
2,5000 |
2,2803 |
2,0715 |
1,9302 |
2,0715 |
2,2803 |
2,5000 |
|
1 |
2,3876 |
2,3369 |
2,2418 |
2,1350 |
2,0848 |
2,1350 |
2,2418 |
2,3369 |
2,3876 |
0 |
2,0000 |
2,2217 |
2,2125 |
2,1550 |
2,1358 |
2,1550 |
2,2125 |
2,2217 |
2,0000 |
-1 |
2,3876 |
2,3369 |
2,2418 |
2,1350 |
2,0848 |
2,1350 |
2,2418 |
2,3369 |
2,3876 |
-2 |
|
2,5000 |
2,2803 |
2,0715 |
1,9302 |
2,0715 |
2,2803 |
2,5000 |
|
-3 |
|
|
2,3106 |
1,9366 |
1,5000 |
1,9366 |
2,3106 |
|
|
Выполнение граничных условий следует из самого способа нахождения начального приближения и последующего алгоритма поиска приближенного решения искомой задачи.
Качественно оценить приближенное решение можно, если построить по полученным значениям график сечений функции .
Оценку погрешности найденных значений искомой функции получим из оценки погрешности аппроксимации уравнения Лапласа , тогда имеем т.е. соответствует заданной погрешности, следовательно, результаты имеют 4 верных знака.
Вывод.
Из полученных графиков можно сделать вывод, что найденное решение поставленной задачи качественно верно отражает исследуемый процесс. Численные значения искомой функции могут быть использованы (в пределах погрешности) при численном моделировании процессов описываемых краевой задачей для уравнения Лапласа в произвольной области.