Квантовая оптика

Энергия фотона . где - постоянная Планка; - частота света; - длина волны.

Масса и импульс фотона , .

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта , где А - работа выхода электронов из металла.

"Красная граница" фотоэффекта .

Давление света , где I - облученность поверхности; k - коэффициент отражения.

Изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии их на электроне: на угол (комптоновское рассеяние):

, где - масса электрона отдачи.

Строение атома и ядра

Полная энергия электрона на n-ой орбите атома с зарядом ядра z

, или , где m - масса электрона; - энергия ионизации атома; n - главное квантовое число.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода (водородоподобного атома) при переходе из одного стационарного состояния в другое: , , где - номер серии спектральных линий.

Масса релятивистской частицы: ,

полная энергия: .

Кинетическая энергия релятивистской частицы: ,

.

Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

.

Радиоактивность

Закон радиоактивного распада: , где N - число нераспавшихся атомов в момент времени t; - число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (t=0); е - основание натуральных логарифмов; - постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время :

при << , , где - период полураспада.

Период полураспада: .

Среднее время жизни ядра: .

Активность радиоактивного распада , .

Ядерная реакция: , где , , где у - энергетический эффект реакции.

Дефект массы ядра .

Энергия связи атомного ядра или Удельная энергия связи , А - число нуклонов в ядре;

.

Примеры решения задач

Пример 1. Два точечных электрических заряда и находятся в воздухе на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке A, если расстояние и .

Решение. Общая (результирующая) напряженность Е в точке А равна сумме напряженностей двух полей, создаваемых зарядами и , т. е.

, (1) где — напряженность поля заряда ; Е₂ — напряженность поля заря .

На рисунке вектор направлен от заряда , так как этот заряд положительный, вектор направлен сторону заряда q₂, так как этот заряд отрицательный. Результирующий вектор Е совпадает по величине и направлению с диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах. Абсолютное значение этого вектора найдем из соотношения:

. (2)

Абсолютную величину напряженностей и , а также определим по формулам:

, (3)

. (4)

Выразим числовые значения всех величин в единицах СИ:

, , ,

Подставив эти числовые значения в формулы (3), (4)и (2), получим:

.

При вычислении знак заряда q₂ был опущен, так как в данном случае важно знать абсолютное значение напряженности

.

Потенциал результирующего поля, созданного двумя зарядами и равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.

(5)

Потенциал является положительным, так как поле создано положительным зарядом потенциал является отрицательным,: так как поле создано отрицательным зарядом .

Потенциал поля, созданного точечным зарядом, определяется по формуле:

(6)

Подставив сюда численные значения величин, получим: .

Пример 2. Определить начальную скорость сближения протонов, находящихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние , на которое они могут сблизиться, равно .см

Решение. Между двумя протонами действуют силы отталкивания, вследствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно решить как в инерциальной системе координат (связанной с центром масс двух протонов ), так и в неинерциальной (связанных с одним из ускоренно движущихся протонов). Во втором случае законы Ньютона не имеют места. Применение же принципа Даламбера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной системе отсчета.

Поместим начало координат в центре масс протонов. Поскольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет находиться в точке, делящий пополам отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по абсолютной величине скорости и . Скорость каждой частицы будет равна половине скорости сближения

. (1)

В дальнейшем воспользуемся законом сохранения энергии, записанную в виде

Т+П=const,

Где – кинетическая энергия, – потенциальная энергия.

Выразим потенциальную энергию в начальный и конечный моменты движения.

В начальный момент. Согласно условию задачи, протоны находились на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергии можно пренебречь. Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии протонов, т.е. . (2)

В конечный момент, когда протоны максимально сблизится, скорость и кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна потенциальной энергии : . (3)

Приравнивая правые части равенств (2) и (3), получим: . (4)

Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергии протонов:

(6)

потенциальная энергия системы двух зарядов и , находящихся в вакууме, определяется по формуле: , где – расстояние между зарядами.

Воспользовавшись этой формулой. Получим: . (6)

С учетом выражений (5) и (6) формула (4) примет вид: .

Откуда:

Подставив числовые значения. Получим: .

Пример 3. Электрон со скоростью влетел однородное электрическое поле в направлении, противоположном напряженности поля. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы обладать энергий 13,6 эв? (Обладая такой энергии, электрон, при столкновении с атомом водорода, может ионизировать его. Энергия 13,6 эв называется энергией ионизации водорода).

. Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией Т, которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации . т.е.

Выразив в этой формуле и , получим: .

Отсюда: .

Произведя вычисления в единицах СИ, получим: .

Пример 4. На пластинках плоского конденсатора находится заряд. Площадь каждой пластины конденсатора равна , диэлектрик – воздух. Определить силу , с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд одной пластины находится в поле напряженностью , созданным зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (см.рис.)

(1)

Т ак как , (2)где – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид: .

Произведя вычисления, находим: .

Пример 5. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой . Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводником в точке, удаленной от него на расстояние .

Р ешение. Магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником ничтожно малого сечения, обладает осевой симметрией. Это значит, что модуль вектора магнитной индукции в данной точке будет зависеть только от ее расстояния до проводника. Поэтому все точки на окружности радиусом (см. рис.) лежащий в плоскости, перпендикулярной проводнику, будут характеризоваться одинаковой по модулю магнитной индукцией: , (1) где – магнитная постоянная.

Направление вектора В зависит от положения точки на окружности и направления тока в проводнике. Этот вектор направлен по касательной к проведенной нами окружности (это следует из закона Био-Савара – Лапласа, записанного в векторной форме). Окружность на рис. является магнитной силовой линией. Ее направление (а значит, и направление вектора В) определяется по правилу правого винта.

Произведя вычисления находим В=0,1мТл.

П ример 6. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, а=10см, течет ток силой . Найти магнитную индукцию В в точке О пересечения диагоналей квадрата.

Решение. Расположим квадратный виток в плоскости чертежа. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей , (1) где - магнитные индукции полей, создаваемых токами, протекающими по каждой стороне квадрата.

В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображений симметрии следует, что модули этих векторов одинаковы: . Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным : . (2)

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой:

. (3)

Учитывая, что и (см. рис.), формулу (3)можно переписать в виде: .

Подставив выражение в формулу (2), найдем .

Заметив, что и (так как ), получим :

.

Подставляя численные значения, получим: В=1,13мТл.

Пример 7. В однородном магнитном поле (В=0,1Тл) равномерно с частотой вращается рамка, содержащая витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки равна 150см. Определить мгновенное значение э.д.с. индукции соответствующее углу поворота рамки, равному .

Р ешение. Мгновенное значение э.д.с. индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла:

, (1) где – потокосцепление.

Потокосцепление связано с магнитным потоком Ф и числом витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением: . (2)

Подставляя выражение в формулу (1), получаем: . (3)

При вращении рамки (см. рис.) магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени , определяется соотношением: , где В – магнитная индукция, S– площадь рамки, – круговая (или циклическая частота).

Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав полученное выражение по времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции:

(4)

круговая частота связана с частотой вращения соотношением .

Подставляя выражение в формулу (3) и заменив на , получим: .

Подставляя численные значения получим: .

Пример 8. Соленоид с сердечником из намагниченного материала содержит витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока магнитный поток . Определить индуктивность соленоида и энергию магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность связана с потокосцеплением и силой тока соотношением: . (1)

Потокосцепление. в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу): . (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида:

. (3)

Энергия магнитного поля соленоида: . Выразив согласно формуле (3) получим: . еских величин и произведем вычисления: у. е значение радея – Максвелла:

. (4)

Подставим в формулы (3) и (4) значения физических величин и произведем вычисления: , .

Пример 9. От двух когерентных источников и ( ) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку ( ), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине пленки это возможно?

Р ешение. Изменение интерференционный картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционный картины возможен при изменении оптической разности хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн т.е.

, (1) где – оптическая разность хода пучков до внесения пленки, – оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки,

Наименьшей толщине пленки соответствует . При этом формула (1) примет вид : . (2)

Вычислим оптические разности хода и . Из рисунка следует , . Подставим выражения и в формулу (2): , или . Отсюда .

Произведем вычисления: .

Пример10. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки . Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного ( ) и в случае фиолетового ( ) света.

Решение. Из формулы определяющий положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок дифракционного максимума: , (1)

где – период решетки, –угол дифракции, – длина волны монохроматического света.. так как не может быть больше , то число не может быть больше , т.е. ≤ . ( 2)

Подставив в формулу (2) значения, получим:

≤ (для красных лучей),

≤ (для фиолетовых лучей).

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света и для фиолетового .

Пример 11. Пучок естественного света падает на поляризованную поверхность стеклянной пластины, погруженную в жидкость. Отраженный от пластины пучок света образует угол с падающим пучком (см. рис.). Определить показатель преломления жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Р ешение. Согласно закону Брюстера пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае. Если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления , где показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, и. следовательно, , откуда : .

Произведя вычисления, находим .

Пример 12. Плоскополяризованный монохроматический пучок света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластинку, интенсивность I пучка света после поляроида стала равна половине интенсивности пучка , падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения а кварца принять равной 48,9 град/мм .

Р ешение. Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (пунктирная линия на рисунке) перпендикулярна плоскости колебаний ( ) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол , где – толщина пластины. . (1)

Зная во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид. Определим угол , который установится между плоскостью пропускания и новым направлением плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса: .

Заметив, что , можно написать , или . (2)

Из равенства (2)с учетом (1) получим . Откуда искомая толщина пластины .

Пример 13. Длина волны , на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, Определить энергетическую светимость (излучательность ) поверхности тела.

Решение. Энергетическая светимость абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана–Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой: , (1) где – постоянная Стефана–Больцмана, Т– термодинамическая температура.

Температуру Т можно выразить с помощью закона смещения Вина: , (2)

где – постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (2) и (1), получаем: . (3)

Произведя вычисления, находим: = .

Пример 14. В результате Эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол . Энергия рассеянного фотона . Определить энергию фотона до рассеяния.

Решение. Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона:

, (1)

где – изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне, h– постоянная Планка , – масса покоя электрона, с– скорость света в вакууме, – угол рассеяния фотона.

Преобразуем формулу (1): 1) заменим в ней на , 2) выразим длины волн и через энергии и соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой , 3) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на с . Тогда:

.

Сократим на и выразим из этой формулы искомую энергию:

, (2)

где – энергия покоя электрона.

Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Так как для электрона , то .

Пример 15. Пучок монохроматического света длиной волны падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Поток излучения . Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью, 2) число фотонов , ежесекундно падающих на поверхность.

Решение. 1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления на площадь поверхности:

. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле:

, (2)

где – энергетическая освещенность, с– скорость света в вакууме, р– коэффициент отражения.

Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем:

.

Поскольку представляет собой поток излучения , то: .

Произведем вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности : .

2. Произведение энергии одного фотона на число фотонов , ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т.е. потоку излучения: , а так как энергия фотона , то: , откуда : .

Произведя вычисления, находим: .

Пример.16 Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

, (1)

где – длина волны фотона, – постоянная Ридберга, – заряд ядра в относительных единицах (при формула переходит в сериальную формулу для водорода), –номер орбиты, на которую перешел электрон, – номер орбиты, с которого перешел электрон, ( и – главные квантовое число).

Энергия фотона выражается формулой: .

Поэтому, умножив обе части равенства (1) на , получим выражение для энергии фотона: .

Так как есть энергия ионизации атома водорода, то:

Вычисления выполним во внесистемных единицах: =13,6эВ, , =2, =4, то .

Пример. 17 Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов . Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) , 2) .

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой: , (1) где h– постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т . Связь импульса с кинетической энергии различна для нерелятивистического случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее покоя) и для релятивистического случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистическом случае: , (2) где – масса покоя частицы.

В релятивистическом случае: , (3) где – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3)запишется:

в нерелятивистическом случае: , (4)

в релятивистическом случае: . (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов ,

.

В первом случае , что много меньше энергии покоя электрона . следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что . Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде:

.

Учитывая, что есть комптоновская длина волны , получаем: .

Так как , то .

Во втором случае кинетическая энергия , т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что , по формуле(5) находим:

, или .

Пример.18 Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т=10эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид: , где – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона), – неопределенность импульса частицы (электрона), – постоянная Планка , деленная на .

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью: . (1)

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде:

, откуда . (2)

Физически разумная неопределенность импульса во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р, т.е. . Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением . Заменим значением (такая замена не увеличит ). Переходя от неравенства к равенству, получим: .

Пример. 19 При соударении а– частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение. Обозначим неизвестное ядро символом . Так как – частица представляет собой ядро гелия , запись реакции имеет вид: .

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+10=1+Х, откуда Х=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2+5=1+Z, откуда Z=6. следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода .

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде: .

Энергетический эффект ядерной реакции определяется по формуле: .

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равно сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим .

Специальность “Технологические машины и оборудования”

Контрольная работа № 2

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
	Нечетные	Четные
1	11, 23, 26, 46, 47	1, 13, 26, 36, 47
2	12, 24, 28, 37, 50	2, 14, 27, 37, 48
3	10, 15, 29, 40, 51	3, 15, 28, 38,49
4	5, 19, 30, 43, 54	4, 16, 29, 39, 50
5	9, 16, 34, 38, 48	5, 17, 30, 40, 51
6	6, 20, 32, 44, 55	6, 18, 31, 41, 52
7	3, 14, 33, 39, 56	7, 19, 32, 42, 53
8	4, 21, 27, 41, 49	8, 20, 33, 43, 54
9	2, 17, 31, 42, 52	9, 21, 34, 44, 55
0	7, 22, 35, 36, 53	10, 22, 35, 45, 56

Специальность “Технологические машины и оборудования”

Контрольная работа № 3

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
	Нечетные	Четные
1	57, 68, 77, 91	67, 72, 87, 101
2	58, 69, 78, 92	62, 71, 88, 102
3	59, 70, 79, 93	65, 74, 89, 103
4	60, 71, 80, 94	60, 70, 90, 94
5	61, 72, 81, 95	66, 76, 82, 96
6	62, 74, 82, 96	58, 68, 78, 97
7	63, 75, 83, 97	59, 75, 83, 93
8	64, 76, 84, 98	57, 69, 80, 100
9	65, 74, 85, 99	61, 73, 77, 99
0	66, 75, 86, 100	63, 74, 79, 95