Экспериментальная проверка полученной модели

В связи с отсутствием лаборатории и невозможностью самостоятельно проводить эксперименты автору пришлось взять экспериментальные данные из учебника по биологии (38, т2) стр.122.

Экспериментальные данные

Рис.2

Для получения теоретической модели была задана потенциальная энергия информационного пространства в виде

(3.1.21)

с определяющей системой дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат информационного пространства в виде

(3.1.22)

Решение данной системы уравнений хорошо известно и может быть представлено в виде

(3.1.23)

где:

- собственные частоты колебаний системы в информационном пространстве;

- фазовые углы, определяемые из граничных условий;

- амплитуды колебаний;

- коэффициент, определяющий начало координат информационного пространства;

- время.

Таким образом, зависимость численности особей в популяции от времени находилось из следующей системы двух уравнений:

(3.1.24)

где:

- соответственно численность и скорость изменения численности популяции «жертвы»;

- соответственно численность и скорость изменения численности популяции «хищника»;

- вероятность прироста численности «жертвы»;

- вероятность прироста численности «хищника»;

Постоянные находились с помощью пакета компьютерных программ, в котором был использован генетический алгоритм, причем за критерий сходимости была принята минимизация срединной среднегеометрической погрешности хищника и жертвы. Текст пакета программ приведен в Приложении. Результаты работы программы показали на рис.3 и на рис. 4 при разных собственных частотах.

Рис 3. Теоретические и экспериментальные зависимости численности «жертвы», «хищника», а также теоретическая зависимость численности «хищника» и «жертвы» на более длительном промежутке времени с учетом демпфирования и внешней нагрузки.

жертва: срединная, максимальная и средняя погрешности =

3.6517e-001 9.3856e+000 1.1249e+000

хищник: срединная, максимальная и средняя погрешности =

3.6941e-001 1.1530e+001 1.2473e+000

Рис.4. Теоретические и экспериментальные зависимости численности «жертвы», «хищника», а также теоретическая зависимость численности «хищника» и «жертвы» на более длительном промежутке времени без учета демпфирования и внешней нагрузки.

жертва: срединная, максимальная и средняя погрешности =

2.9688e-001 8.0709e+000 8.1080e-001

хищник: срединная, максимальная и средняя погрешности =

2.4605e-001 4.3663e+000 6.8277e-001

Как видим, погрешности данной теории довольно высоки. Возможно, это связано с квантовым характером биологических систем, что абсолютно не учитывалось из-за математической сложности данной задачи.

Но посмотрим, как ведут себя другие теории. Для проверки соответствия экспериментальных данных известной модели была выбрана четвертая модель, для которой система определяющих уравнений записывалась следующим образом:

(3.1.25)

Неизвестные постоянные подбирались с помощью генетических алгоритмов. Результаты работы программы представлены на рис.5

Рис 5. Теоретические и экспериментальные зависимости численности «жертвы», «хищника», а также теоретическая зависимость численности «хищника» и «жертвы» на более длительном промежутке времени.

жертва: срединная, максимальная и средняя погрешности =

5.5448e-001 1.9010e+001 1.6642e+000

хищник: срединная, максимальная и средняя погрешности =

9.0487e-001 1.4706e+001 2.3960e+000

Как видим, эта модель хуже согласуется с экспериментом. Более того, малые изменения постоянных, входящих в данную модель, вызывали резкое изменение характера движения, что дает нам право говорить о неустойчивости данной модели. К сожалению, автору не удалось получить более точную и правдоподобную модель с помощью системы уравнений (5). Если кому-то это удается, прошу писать на электронный адрес igor_kachanov@i.ua.

Тоже самое мы наблюдаем в регрессионной модели. Для ее построения мы использовали разложение в ряд Фурье, и затем находили коэффициенты с помощью метода наименьших квадратов. Математически это выглядит так:

где:

- к-тый результат эксперимента;

- теоретическое предсказание;

- неизвестные коэффициенты;

- частоты.

Результаты приведены на рисунке (6-9). (на первом рисунке изображены теоретические и экспериментальные зависимости численности «жертвы» или «хищника», на втором – график относительной погрешности, на третьем – график изменения численности «жертвы» или «хищника» с более малым временным шагом)

Рис 6 Количество функций nn=5

жертва: срединная, максимальная и средняя погрешности =

0.39546401851283 15.85384963002903 1.49061098138361

Рис 7 Количество функций nn=3

жертва: срединная, максимальная и средняя погрешности =

0.35240145509270 14.93988136393942 1.47176519490481

Рис 8 Количество функций nn=5

хищник: срединная, максимальная и средняя погрешности =

0.49846856592241 6.50262800880368 1.15585189984235

Рис 9 Количество функций nn=3

хищник: срединная, максимальная и средняя погрешности =

0.48416950664816 9.02837029388490 1.39418547354462

Как видим, регрессионные модели тоже менее точны по сравнению с нашей теорией, и кроме того, лишены физического смысла. В связи с вышеизложенным мы будем считать предложенную нами модель наиболее адекватной из существующих.

3.1.4