- •Оглавление
- •Введение
- •Методические указания по теме «Дифференциальные уравнения»
- •Справочный материал по теме «Дифференциальные уравнения»
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •2. Методы решения основных типов дифференциальных уравнений
- •3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •4. Методы решения дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка
- •5. Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с
- •6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 1-го
- •Примерный вариант и образец выполнения
- •Варианты ргз №4
- •Вопросы для самопроверки.
- •Рекомендуемая литература
6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 1-го
порядка методом повышения порядка
Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка имеет вид:
(30)
где х – независимая переменная, y(x) и z(x) – неизвестные функции, f1(x) и f2(x) – известные функции a1, a2, b1, b2 – коэффициенты. Общее решение системы (30) имеет вид:
,
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Для решения системы (30) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z(x), из одного уравнения системы:
, (31)
продифференцировать ее и подставить z и во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка вида . После получения его решения , следует, используя (31), найти вторую неизвестную функцию: и записать ответ.
Если в системе (30) коэффициенты a1, a2, b1, b2 – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:
,
решение которого рассмотрено в п.5.
Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.
Примерный вариант и образец выполнения
РГЗ №4
Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: и точка . Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.
Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.
Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: и начальные условия: Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.
Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.
Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: Найти общее решение системы методом повышения порядка.
Решение задачи 1. Данное дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на
.
Интегрируя полученное равенство, получим:
откуда . Заменяя , запишем общее решение данного уравнения: .
Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку , т.е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно: . Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): .
Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.
П остроим все эти кривые в системе координат (рис.1).
Ответы: ; ,
Интегральные кривые изображены на рис.1.
Решение задачи 2. Данное дифференциальное уравнение – это уравнение Бернулли, где . Применим подстановку , тогда Подставив значения y и в уравнение, получим , или
(***)
Найдем функцию решая уравнение
.
Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:
при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .
Подставляя найденную функцию в (***), получим дифференциальное уравнение для функции u: или .
Найдем функцию – общее решение этого уравнения:
, откуда
Общим решением исходного уравнения является функция
.
Ответ: .
Решение задачи 3. Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной x. Полагаем = p(y), тогда и уравнение примет вид:
Решая первое уравнение, получим: – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию
Второе уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя на и проинтегрируем:
где . Производя обратную замену p = , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С1, используя начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):
Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
Здесь использовано: .
Определим значение постоянной С2, соответствующее начальному условию y(1) = 3:
Отсюда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши): .
Получим частное решение уравнения, выразив y(x):
Ответ:
Решение задачи 4. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения
2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь , т.е. , тогда частное решение будем искать в виде .
Составим условиям вариации согласно (24):
Поделив оба уравнения почленно на , получим систему с неизвестными и :
Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:
затем найдем
Переходим к интегрированию:
(константы интегрирования считаем равными нулю).
Тогда , и общее решение .
Ответ: .
Решение задачи 5. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения
2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении – правая часть 2-го специального вида: , где . Числа , тогда, согласно (29), частное решение будем искать в виде:
где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неоднородное уравнение:
Сократим обе части тождества на и приравняем коэффициенты при cos3x и при sin3x в левой и правой частях тождества.
Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим Подставив найденные значения А и В в выражение , получим частное решение неоднородного уравнения:
Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.
Ответ:
Решение задачи 6. Для решения системы методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z(x).
Выразим z(x) из первого уравнения системы: , продифференцируем ее: и подставим z и во второе уравнение системы:
.
После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:
.
Общее решение этого уравнения имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем корни: – корни комплексные сопряженные. Здесь , тогда по таблице 1 определим вид общего решения однородного уравнения:
.
2 этап. Построим частное решение неоднородного уравнения. Здесь – правая часть 1-го специального вида: , где , n = 1. Число не совпадает с корнями характеристического уравнения , тогда, согласно (28), частное решение будем искать в виде:
,
где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:
(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него :
.
Приравнивая коэффициенты при х1 и при х0 в обеих частях тождества, получаем:
откуда находим: A = –1, B = 4. Подставляя найденные значения в , получим: .
Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения : .
Найдем вторую неизвестную функцию:
Ответ: