Раздел III. Прогнозирование на основе эконометрических моделей.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.
Различают несколько видов систем уравнений:
Система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении:
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
Система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:
Такая система уравнений называется структурной формой модели.
Экзогенные переменные - внешнезадаваемые, автономные по отношению к модели переменные, иногда они носят название объясняющих переменных.
Эндогенные переменные - те, которые формируют своё значение под воздействием экзогенных переменных, внутри функционирующей модели.
Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.
Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели.
Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы – приведенная форма модели:
где δ – коэффициенты приведенной формы модели.
Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:
D+1=H – уравнение идентифицируемо;
D+1<H - уравнение неидентифицируемо;
D+1>H - уравнение сверхидентифицируемо,
где H – число эндогенных переменных в уравнении,
D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении,
но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы, не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов.
Косвенный МНК состоит в следующем:
Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
Путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Двухшаговый МНК заключается в следующем:
Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
Выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
Обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части структурного уравнения.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример
Требуется:
Оценить следующую структурную модель на идентификацию:
Исходя из приведенной формы модели уравнений
найти структурные коэффициенты модели.
Решение
Модель имеет три эндогенные (y1, y2, y3) и три экзогенные (x1, x2, x3) переменные.
Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.
Первое уравнение.
Н: эндогенных переменных – 2 (y1, y3),
отсутствующих экзогенных – 1 (x2).
Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют , y2 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
y2 |
x2 |
|
Второе |
-1 |
а22 |
Третье |
b32 |
0 |
Det A = –1·0 – b32 · а22 ≠ 0.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.
Второе уравнение.
Н: эндогенных переменных – 3 (y1, y2, y3),
отсутствующих экзогенных – 2 (x1, x3).
Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют , x1 и x3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
x1 |
x3 |
|
Первое |
а11 |
а13 |
Третье |
а31 |
а33 |
Det A = а11· а33 – а31 · а13 ≠ 0.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.
Третье уравнение.
Н: эндогенных переменных – 2 (y2, y3),
отсутствующих экзогенных – 1 (x2).
Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в третьем уравнении отсутствуют y1 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
y1 |
x2 |
|
Первое |
-1 |
0 |
Третье |
b21 |
а22 |
Det A = –1· а22 – b21 · 0 ≠ 0.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.
Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.
Вычислим структурные коэффициенты модели:
из третьего уравнения приведенной формы выразим x2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):
Данное выражение содержит переменные y3, x1 и x3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):
- первое уравнение
СФМ;
во втором уравнении СФМ нет переменных x1 и x3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:
Первый этап: выразим x2 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:
Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует x3, которого нет в СФМ.
Выразим x3 из третьего уравнения ПФМ:
Подставим его в выражение x1:
Второй этап: аналогично, чтобы выразить x3 через искомые y1, y3 и x2, заменим в выражении x3 значение x1 на полученное из первого уравнения ПФМ:
Следовательно,
Подставим полученные x1 и x3 во второе уравнение ПФМ:
- второе уравнение
СФМ.
Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем.
Суммируя все уравнения, получим
.
Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим x1, домножив первое уравнение на 3, а второе – на (-2) и просуммировав их:
Затем аналогичным образом из полученных уравнений исключаем x3, а именно:
из второго уравнения ПФМ выразим x2, так как его нет в третьем уравнении СФМ:
Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:
- третье уравнение
СФМ.
Таким образом, СФМ примет вид
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1.
Известна модель денежного рынка:
,
где R – процентная ставка;
Y- валовой внутренний продукт;
M- денежная масса;
I- внутренние инвестиции;
t –время.
Задание:
а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
б) Определите метод оценки параметров модели.
в) Запишите приведенную форму модели.
г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 2.
Известна эконометрическая модель Менгеса:
,
где Y –национальный доход;
C- расходы на личное потребление;
I – чистые инвестиции;
Q – валовая прибыль экономики;
P- индекс стоимости жизни;
R – объем продукции промышленности;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
б) Определите метод оценки параметров модели.
в) Запишите приведенную форму модели.
г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 3.
Модифицированная модель Кейнса выглядит следующим образом:
,
где Y –национальный доход;
C- расходы на личное потребление; I – чистые инвестиции;
G –государственные расходы, не связанные с заработной платой;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
б) Определите метод оценки параметров модели.
в) Запишите приведенную форму модели.
г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 4.
Модель мультипликатора-акселератора может быть представлена следующим образом:
где C- расходы на личное потребление;
R – совокупный доход индивидуума;
I – накопления индивидуума;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
б) Определите метод оценки параметров модели.
в) Запишите приведенную форму модели.
г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 5.
Макроэкономическая модель (упрощенная модель Кейнса) выглядит следующим образом:
,
где Y –национальный доход;
C- совокупные расходы на личное потребление;
I – чистые инвестиции;
T –совокупный объем собираемых налогов;
К –объем основных производственных фондов;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
б) Определите метод оценки параметров модели.
в) Запишите приведенную форму модели.
г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 6.
Одна из версий модели Кейнса представлена следующей системой одновременных уравнений:
,
где Y –валовой внутренний продукт;
C- расходы на личное потребление;
I – валовые инвестиции;
G- государственные расходы;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
б) Определите метод оценки параметров модели.
в) Запишите приведенную форму модели.
г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 7.
Макроэкономическая модель экономики США представлена следующей системой уравнений:
,
где Y –валовой внутренний продукт;
C- расходы на личное потребление; I – валовые инвестиции;
G- государственные расходы;
М –денежная масса;
i -процентная ставка на капитал;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
б) Определите метод оценки параметров модели.
в) Запишите приведенную форму модели.
г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 8.
Упрощенная модель закрытой экономики состоит из уравнений функции потребления, инвестиционной функции и тождества для национального дохода:
,
где С – совокупный объем личных потребительских расходов;
I – объем инвестиций;
G – совокупные государственные расходы;
Y – валовой выпуск;
i - ставка процента;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
Произведите деление переменных модели на эндогенные, экзогенные, лаговые. Обоснуйте ответ. Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 8.
Модель закрытой экономики состоит из уравнений функции потребления, инвестиционной функции, тождества для национального дохода, а также описан рынок денег, представленный уравнением спроса на деньги и условием равновесия:
,
где С – совокупный объем личных потребительских расходов;
I – объем инвестиций;
G – совокупные государственные расходы;
Y – валовой выпуск;
i - ставка процента на капитал;
Md- спрос на деньги;
M- предложение денег, величина которого задана экзогенно;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Задание:
Произведите деление переменных на эндогенные, экзогенные, лаговые. Обоснуйте ответ. Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 10.
Упрощенная модель рынка представлена уравнением спроса, уравнением предложения, и условием равновесия.
,
где Q s – предложение товара;
Q d – спрос на товар;
p – цена товара;
y – величина совокупного дохода;
t – текущий период.
Задание:
Укажите, какие переменные в модели являются эндогенными, какие экзогенными, какие лаговыми. Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
Задача 11.
Два исследователя пришли к выводу, что следующая простая модель формирования дохода применима для описания некоторой закрытой экономики.
,
где С – совокупный объем личных потребительских расходов;
Y – валовой выпуск;
I – чистые инвестиции;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Используя одинаковые временные ряды для Y, C, I один исследователь построил уравнение регрессионной зависимости C от I, другой –регрессионной зависимости Y от I, и они получили следующие результаты:
Задание:
Покажите, что оба подхода дают одинаковые оценки a1, a2. Обоснуйте математически, почему полученные оценки должны быть одинаковыми.
Задача 12.
Спрос на товар в некоторой стране, его внутреннее предложение и импорт заданы следующими уравнениями:
,
где Q s – внутреннее предложение товара;
Q d – спрос на товар в некоторой стране;
Q m – импорт товара;
p – цена товара на внутреннем рынке;
w – цена товара на мировом рынке;
y – совокупный доход страны;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Имеются временные ряды значений каждой из переменных за 25 лет.
Задание:
Объясните, почему попытка оценить эти три уравнения с помощью 1МНК приведет к получению несостоятельных оценок. Какие свойства будут нарушены и как?
Задача 13.
Спрос на товар в некоторой стране, его внутреннее предложение и импорт заданы следующими уравнениями:
,
где Q s – внутреннее предложение товара;
Q d – спрос на товар в некоторой стране;
Q m – импорт товара;
p – цена товара на внутреннем рынке;
w – цена товара на мировом рынке;
y – совокупный доход страны;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.
Имеются временные ряды значений каждой из переменных за 30 лет.
Задание:
1. Объясните, возможно ли получение состоятельных оценок коэффициентов данных трех уравнений.
2. Опишите ваши действия для достижения этого результата.
Задача 14.
Оцените коэффициенты эконометрической модели (a,b) при помощи 2МНК. Принять Х1 , Х2 - экзогенными переменными, Y1 , Y2 - эндогенными переменными. Предполагаемый вид модели:
Y1 = аY2 + bX1 ;
Y2 = cY1 + dX2 .
Исходные данные модели:
X1 |
1.6 |
1.8 |
1.6 |
2.0 |
2.1 |
2.4 |
2.8 |
2.6 |
2.9 |
X2 |
10.2 |
8.4 |
8.6 |
9.5 |
10.0 |
11.4 |
12.0 |
10.6 |
11.6 |
Y1 |
22.4 |
16.8 |
18.9 |
21.0 |
22.4 |
22.6 |
22.0 |
24.2 |
25.1 |
Y2 |
8.8 |
9.1 |
9.4 |
9.7 |
9.3 |
10.8 |
10.5 |
11.0 |
13.0 |
Задача 15.
Для прогнозирования спроса на свою продукцию предприятие использует следующую модель, характеризующую общую экономическую ситуацию в регионе:
где Q – реализованная продукция в период t;
Y – ВДС региона;
С – конечное потребление;
I – инвестиции;
К – запас капитала;
t – текущий период;
t-1 – предыдущий период.