Раздел II. Прогнозирование динамики временных рядов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Под временным рядом (динамическим рядом или рядом динамики) в экономике понимают последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые обозначают

где n – число уровней.

Значения уровней временных рядов могут содержать следующие компоненты (составные части или структурные элементы):

• Тренд (T);

• сезонную компоненту (V);

• циклическую компоненту (S);

• случайную компоненту (E).

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной – Y=T+V+S+E, если в виде произведения – мультипликативной Y=T·V·S·E. Также можно выделить ещё один вид модели – смешанного типа - Y=T·V·S+E.

Построение моделей сводится к расчету значений T, V, S и E для каждого уровня ряда.

Основные этапы анализа временных рядов:

• Графическое представление и описание поведения временного ряда;

• Выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических компонент);

• Сглаживание и фильтрация временного ряда;

• Исследование случайной компоненты временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

• Прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

• Исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда может быть определена с помощью коэффициента автокорреляции:

,

где - коэффициент автокорреляции уровней

ряда первого порядка;

,

где - коэффициент автокорреляции уровней

ряда второго порядка.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг L (порядок коэффициента автокорреляции), при котором автокорреляция r(L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение r(1), то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r(L), то ряд помимо тенденции содержит колебания периодом L. Если ни один из r(l) (l=1,…, L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

• Либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

• Либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужен дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага называют коррелограммой.

Одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса. Для этого используется метод аналитического выравнивания временного ряда. Суть его заключается в построении уравнения регрессии, характеризующей зависимость уровней ряда от временной переменной. Чаще всего применяются функции: линейная, полиномиальная, экспоненциальная, степенная и т.д.

Для расчета параметров уравнения тренда чаще всего используется метод наименьших квадратов. В качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t.

При выборе вида функции тренда можно воспользоваться следующими методами.

Метод отклонений от тренда – вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например, , и расчет отклонений от трендов: , которые и используются для дальнейшего анализа.

Метод последовательных разностей. Если ряд содержит линейный тренд, то исходные данные заменяются первыми разностями:

если параболический тренд – вторыми разностями:

Остатки рассчитываются по формуле:

Для экспоненциального и степенного тренда данный метод применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

Параметры a и b в этой модели определяются обычным методом наименьших квадратов.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Наиболее распространенным приемом обнаружения автокорреляции остатков является критерий Дарбина-Уотсона:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка - это корреляция зависимости между значениями в остатках за текущие n:

.

Критерий Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением:

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Пример

Имеются данные об урожайности культур в хозяйствах области.

Год	Урожайность сахарной свеклы (фабричной), ц/га	Год	Урожайность сахарной свеклы (фабричной), ц/га
1	62	5	114
2	73	6	118
3	87	7	142
4	96	8	158

Задание:

1. Постройте график временного ряда.

2. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

3. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

4. Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.

Решение.

1. Для того чтобы построить график временных рядов в ППП MS Excel необходимо выполнить команды Вставка/Диаграмма, выбрать подходящий вид (в данном случае График) и следуя указаниям, задать необходимые показатели и параметры. Затем необходимо показать на графике линию тренда. Полученный график представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График временного ряда

2. Изучив график, становится ясно, что наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные прямая линия. Именно поэтому тип уравнения тренда – линейная функция.

3. Параметры трендов определяются МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,8, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t. Расчет параметров a и b уравнения регрессии производится по формулам:

	X	Y	Y*X	X^2
	1	62	62	1
	2	73	146	4
	3	87	261	9
	4	96	384	16
	5	114	570	25
	6	118	708	36
	7	142	994	49
	8	158	1264	64
сумма	36	850	4389	204
среднее значение	4,5	106,25	548,625	25,5

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид: .

4.Исходя из значения параметра b=13,43, можно предположить, что урожайность культур на следующий год увеличится на 13% и составит 178,54 ц/га.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1

Имеются данные об объеме экспорта из РФ

Год	Экспорт, тыс. долл.	Год	Экспорт, тыс. долл.
1990	1568,5	1997	48250,5
1991	2569,1	1998	33718,2
1992	2957,5	2000	52385,0
1993	9619,2	2001	1054119,8
1994	11265,3	2002	39825,0
1995	46216,2	2003	56579,3
1996	61116,6	2004	85531,1

Задание:

1. Постройте график временного ряда

2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда

3. Оцените качество каждой модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

4. Выберите лучшую модель и выполните точечный прогноз на 2005 г.

5. Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Задача 2

Имеются данные об объеме импорта в РФ

Год	Импорт, тыс. долл	Год	Импорт, тыс. долл
1990	64583,5	1997	25632,7
1991	65982,1	1998	55767,5
1992	46981,7	2000	31499,0
1993	45896,5	2001	52165,4
1994	56812,4	2002	68451,0
1995	102568,1	2003	68180,6
1996	128383,3	2004	79220,7

Задание:

1. Постройте график временного ряда

2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда

3. Оцените качество каждой модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения. Выберите лучшую модель.

4. Выберите лучшую модель и выполните точечный прогноз на 2005 г.

5. Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Задача 3

Имеются данные об экспорте и импорте РФ

Год	Экспорт, тыс. долл	Импорт, тыс. долл
1990	1568,5	64583,5
1991	2569,1	65982,1
1992	2957,5	46981,7
1993	9619,2	45896,5
1994	11265,3	56812,4
1995	46216,2	102568,1
1996	61116,6	128383,3
1997	48250,5	25632,7
1998	33718,2	55767,5
2000	52385,0	31499,0
2001	1054119,8	52165,4
2002	39825,0	68451,0
2003	56579,3	68180,6
2004	85531,1	79220,7

Задание:

1. Постройте график одновременного движения экспорта и импорта России.

2. Постройте по каждому ряду тренды и выберите лучший из них.

3. Постройте уравнение регрессии и оцените тесноту и силу связи двух рядов (по отклонениям от тренда и по множественной регрессионной модели с включением в нее фактора времени).

4. Выполните прогноз уровней одного ряда исходя из его связи с уровнями другого ряда.

5. Прогнозные значения уровней ряда и доверительный интервал прогноза нанесите на график.

Задача 4

Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах Пензенской области

Год	Урожайность зерновых, ц/га	Год	Урожайность зерновых, ц/га
1990	16,3	1998	9,6
1991	10,7	1999	12,8
1992	16,4	2000	10,5
1993	13,6	2001	15,1
1994	13,5	2002	15,5
1995	8,3	2003	13,7
1996	11,5	2004	13,4
1997	16,5	2005	13,2

Задание:

1. Постройте график временного ряда.

2. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

3. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

4. Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона и оцените полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

5. Дайте прогноз урожайности зерновых на следующий год.

Задача 5

Имеются данные о сборе зерновых в хозяйствах Пензенской области

Год	Валовой сбор зерновых культур, тыс.тонн	Год	Валовой сбор зерновых культур, тыс.тонн
1990	1841,2	1998	762,0
1991	1321,3	1999	835,5
1992	2102,2	2000	840,3
1993	1485,3	2001	1046,4
1994	1355,0	2002	1170,5
1995	873,3	2003	1282,1
1996	1257,1	2004	1051,7
1997	1781,3	2005	1015,3

Задание:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3. Дайте прогноз валового сбора зерновых культур на следующий год.

Задача 6

Имеются следующие данные о числе квартирных телефонных аппаратов в г. Пенза.

Год	Число квартирных телефонных аппаратов, тыс. шт.	Год	Число квартирных телефонных аппаратов, тыс. шт.
1990	47,8	1998	78,9
1991	49,7	1999	89,0
1992	56,9	2000	97,1
1993	57,8	2001	108,9
1994	60,3	2002	115,3
1995	62,5	2003	117,6
1996	64,4	2004	120,1
1997	69,0	2005	122,8

Задание:

1. Постройте график временного ряда

2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда

3. Оцените качество каждой модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения. Выберите лучшую модель.

4. Выберите лучшую модель и выполните точечный прогноз на 2005 г.

5. Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Задача 7

По Пензенской области известны данные о среднемесячной заработной плате работающих.

Год	Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб., x	Год	Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб., x
1990	0,25	1998	598,2
1991	0,43	1999	911,4
1992	3,6	2000	1258,0
1993	35,0	2001	1752,3
1994	123,2	2002	2654,1
1995	261,2	2003	3474,4
1996	444,1	2004	3911,1
1997	546,0	2005	4563,6

Задание:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3. Дайте интерпретацию полученных результатов.

Задача 8

Имеются данные о численности постоянного населения в г. Пенза

Год	Численность населения, тыс. чел.	Год	Численность населения, тыс. чел.
1990	530,9	1998	529,4
1991	530,5	1999	529,1
1992	529,8	2000	587,9
1993	528,9	2001	525,3
1994	528,6	2002	522,9
1995	529,3	2003	518,2
1996	530,0	2004	515,4
1997	529,8	2005	513,3

Задание:

1. Постройте график временного ряда

2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда

3. Оцените качество каждой модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения. Выберите лучшую модель.

4. Выберите лучшую модель и выполните точечный прогноз на 2005 г.

5. Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Задача 9

Имеются данные об обороте розничной торговли Пензенской области

Год	Товарооборот, млн. руб.(до 1998г. – млрд.руб)	Год	Товарооборот, млн. руб.(до 1998г. – млрд.руб)
1990	2,2	1998	6654
1991	21	1999	11054
1992	215	2000	13763,5
1993	825	2001	17090,1
1994	2568	2002	20910,0
1995	3872	2003	25184,1
1996	5302	2004	32230,9
1997	6269	2005	40134,5

Задание:

1. Постройте график временного ряда.

2. Постройте мультипликативную модель временного ряда.

3. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

4. Выберите лучшую модель и выполните точечный прогноз на 2005 г.

5. Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Задача 10

Имеются следующие данные об уровне безработицы в Пензенской области

Года	Уровень безработицы, %	Года	Уровень безработицы, %
1990	3,2	1998	18,1
1991	4,5	1999	11,6
1992	4,8	2000	11,2
1993	8,9	2001	13,9
1994	8,9	2002	7,4
1995	13,9	2003	9,1
1996	14,9	2004	6,9
1997	12,0	2005	7,1

Задание:

1. Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.

2. Обоснуйте выбор уравнения и определите его параметры.

3. Интерпретируйте полученные результаты.

Задача 11

Имеются следующие данные о численности переселенцев в Пензенскую область

Год	Число иммигрантов, тыс. чел.	Год	Число иммигрантов, тыс. чел.
1990	9562	1998	4964
1991	11258	1999	4568
1992	12462	2000	3465
1993	2568	2001	2126
1994	1998	2002	1610
1995	1765	2003	1521
1996	2135	2004	1375
1997	3251	2005	1210

Задание:

1. Постройте график временного ряда

2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда

3. Оцените качество каждой модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения. Выберите лучшую модель.

4. Выберите лучшую модель и выполните точечный прогноз на 2005 г.

5. Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Задача 12

Имеются следующие данные об объемах потребления товара А в Пензенской области

Год	Объем потребления, кг.	Год	Объем потребления, кг.
1990	29	1998	34
1991	30	1999	34
1992	30	2000	35
1993	31	2001	35
1994	31	2002	37
1995	32	2003	41
1996	32	2004	42
1997	33	2005	44

Задание

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3. Дайте прогноз потребления товара А на следующий год.

Задача 13

Динамика объема платных услуг населению Пензенской области за 1990- 2005 гг. характеризуется данными, представленными в таблице

Год	Объем платных услуг населению, тыс. руб	Год	Объем платных услуг населению, тыс. руб
1990	315	1998	1144357
1991	469	1999	1631620
1992	3980	2000	2941003
1993	30750	2001	4440565
1994	113372	2002	5743211,1
1995	398679	2003	7833216
1996	729418	2004	10097508
1997	1032671	2005	11043262

Задание

1. Постройте автокорреляционную функцию временного ряда.

2. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

Задача 14

Динамика выпуска промышленной продукции в Пензенской области характеризуется данными, представленными в таблице

Год	Объем продукции, млн. руб.(до 1998г.- млрд. руб.)	Год	Объем продукции, млн. руб. (до 1998г.- млрд. руб.)
1989	9	1997	7500
1990	52	1998	7596
1991	69	1999	12674
1992	95	2000	17895
1993	688	2001	22226
1994	2564	2002	24718
1995	5086	2003	29439
1996	6917	2004	32542

Требуется:

1. Провести расчет параметров линейного и экспоненциального трендов.

2. Построить графики ряда динамики и трендов.

3. Выбрать наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации.

Задача 15

Имеются следующие данные по Пензенской области о величине денежного дохода (в среднем на душу в год) и расхода на продукты питания в среднем на одного члена домохозяйства в год

показатель год	Денежные расходы на покупку продуктов питания в расчете на душу населения в год, руб. (до 1998 г. тыс. руб.)	Денежные доходы в расчете на душу населения, руб. (до 1998 г. тыс. руб.)
1990	629	0,24
1991	1265	0,38
1992	12759	2,3
1993	133301	28,4
1994	430266	86,5
1995	1077360	125,3
1996	1412930	256,2
1997	1959240	488,4
1998	2413	540,6
1999	3264	935,7
2000	4877	1233,7
2001	7462	1668,2
2003	10357	2135,5
2004	12490	2236,8

Требуется:

1. Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

2. Перечислить основные пути устранения тенденции для построения модели спроса на продукты питания в зависимости от дохода.

3. Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходных динамических рядов.

4. Пояснить экономический смысл коэффициента регрессии.

5. Построить линейную модель спроса на продукты питания, включив в нее фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.