4. Визначення компонент тензора напруг у новій системі координат
Компонент будь–якого тензора 2го рангу, у тому числі і тензора напруг, можна визначити по залежності (2). Але ця залежність наведена у скороченій, так званій тензорній формі запису, в якій мається на увазі підсумування по індексу, який повторюється.
Перейдемо від скороченої форми запису до розгорнутої, враховуючи, що індекси i, k, l, m приймають значення X, Y, Z та позначаючи нормальні напруги символами σ, а тангенційні τ.
Нехай l = x; m = x. Тоді σx’x = σx’ :
Після приведення подібних членів маємо:
Аналогічно получається формула для τx’y’ :
Вирази для σy’, σz’, τy’z’ і τz’x’ потрібно знайти самостійно.
Підставивши в знайдені вирази значення компонент свого тензора та направляючих косинусів, знайти компоненти тензора в новій системі координат.
Наприклад:
Аналогічно знаходяться інші компоненти тензора, які після закінчення розрахунків слід звести у матрицю:
Наприклад
Після визначення компонент тензора в нових координатах слід перевірити правильність розрахунку. Це робиться за допомогою базисних інваріантів тензора напруг:
Вираховуються
значення інваріантів у старій системі
координат для вихідного тензора
та у новій
для нового тензора.
Визначається відносна помилка розрахунку:
За звичай, спочатку перевірка не вдається, тому що розрахунки досить складні. В такому випадку слід визначити помилки, йдучи ззаду наперед: спочатку перевірити розрахунки інваріантів, а потім – компонентσik у новій системі координат. Найчастіше помилки зумовлені неправильною підстановкою направляючих косинусів у формули для компонент σik, неправильним розгортанням формули (2) або використанням неякісного калькулятора. Мається на увазі, що самі косинуси знайдено правильно, тому що без правильності остаточної їх перевірки переходити до виконання п. 4 не слід.
5. Розрахунок величин головних напруг
Величини головних напруг у точці знаходяться по характеристичному рівнянню тензора σik:
(7)
Інваріанти рекомендується брати для вихідного тензора.
Вирішення кубічного рівняння (7) можна вести за методикою, викладеною у довіднику [2].
Кубічне рівняння загального виду (канонічне)
слід подати як зведене:
, (8)
де 
В нашому випадку:
; 
Перевірка правильності зведення може бути виконана по дискримінанту рівняння (8), який повинен бути завжди менше нуля, оскільки σik симетричний.
Для знаходження коренів зведеного рівняння (8) треба ввести допоміжні функції:
Тоді
Тепер можна знайти корені канонічного рівняння:
.
В нашому випадку:
Слід пере індексувати значення головних напруг у відповідності до правила індексів.
Перевірка правильності знаходження головних напруг ведеться по базисним інваріантам у новій системі координат:
Максимальна відносна помилка не повинна перевищувати 3%.
.
Наприклад:
Оскільки значення коефіцієнтів досить великі, рекомендується зменшити на час розрахунку значення напруг на два порядки. Тоді:
; 
;
Вертаючись до вихідної перемінної та міняючи індекси отримаємо:
Перевірка:
