3. Визначення направляючих косинусів, яких недостає

Для орієнтування нової системи координат відносно старої потрібно три косинуси, які і додаються в завданні. Але для визначення компонент тензора у новій системі координат потрібні всі 8 косинусів. Невідомі 6 косинусів потрібно визначити самостійно.

Рекомендується направляючі косинуси визначити за допомогою таблиць. В таблиці 1 наведені косинуси в символічній формі, а в таблиці 2 – числові значення відомих та тих, що будуть визначатися.

Таблиця 1

	X	Y	Z
X’	ax’x	ax’y	ax’z
Y’	ay’x	ay’y	ay’z
Z’	az’x	az’y	az’z

Таблиця 2

	X	Y	Z
X’	-0,1478	0,38	0,9131
Y’	0,74	-0,57	0,357
Z’	0,6561	0,7285	-0,197

Після визначення невідомих косинусів їх слід заносити у відповідний клітині таблиці 2.

Перше за все доцільно визначити косинус у тому стовпці таблиці 2, де є 2 відомих косинуса. Для цього можна скористуватися рівнянням Ейлера, що є умовою нормування одиночного вектора. В нашому випадку:

(4)

В результаті маємо: .

Для одержання бажаної точності розрахунків рекомендується брати не менш як 4 знаки після коми. Знак косинусу визначає квадрант простору, в якому розглядається система координат. Оскільки умовами завдання квадрант не обумовлений, то знак можна брати довільно. Нехай це буде знак плюс:

.

У другу чергу знаходимо косинуси в стовпці, де є відомий косинус. В нашому випадку це перший стовпець.

Для цього використовуємо рівняння Ейлера та умову ортогональності вісей декартової системи координат X та Y.

(5)

Вирішувати систему (5) можна будь яким засобом, але краще виразити один із невідомих косинусів через інший:

і підставити в рівняння Ейлера.

Після рішення квадратного рівняння:

буде мати два корені: ; .

Таким чином з’являється 2 варіанти рішення:

I варіант II варіант

а_x’x = –0,1478 а_x’x = 0,6227

a_y’x = 0,74 a_y’x = 0,74

a_z’x = 0,6561 a_z’x = 0,2542

Необхідно зробити перевірку, підставивши знайдені значення косинусів по кожному з варіантів у рівняння (5).

Якщо у разі перевірки з’ясується, що обидва варіанти направляючих косинусів, отже два варіанти орієнтації нової системи координат відносно старої, можливі, то варіант треба вибрати довільно. Нехай це буде 1^ий варіант.

Далі вже можна знайти косинуси по вісі Z (третій стовпчик таблиці 1). Для цього потрібно скласти систему рівнянь:

(6)

Для її вирішення краще виразити дві невідомі через одну для квадратного рівняння. Для цього:

Аналогічно виразимо а_y’z через a_x’z:

Підставляючи в квадрати рівняння, маємо:

Отже:

I варіант II варіант

a_x’z = +0,9131 a_x’z = –0,9131

a_y’z = +0,3570 a_y’z = –0,3570

a_z’z = –0,1970 a_z’z = +0,1970

Робимо перевірку, підставляючи обидва варіанти косинусів в систему (6). Якщо обидва варіанта задовольняють системі (6), то вибираємо один з них довільно. Знайдені значення косинусів записуємо в табл. 2.

Остаточно перевірку правильності визначення направляючих косинусів робимо, вираховуючи суми квадратів косинусів по рядках табл. 2. Вони мають дорівнювати з точністю, не менш як до 4-го знаку після коми (щоб в подальшому знайти компоненти σ_ik у новій системі координат з точністю до 3%).