3.2 Нелінійні рівняння.

Рішення нелінійних рівнянь ділитися на два типи: прямі методи і ітераційні.

Прямі методи дозволяють записати коріння у вигляді деякого кінцевого співвідношення. Застосовується для деяких тригонометричних, логарифмічних, простих і інших рівнянь алгебри.

Для решти рівнянь використовуються ітераційні методи, тобто методи послідовних наближень, які складаються з двох етапів:

1) відшукання наближеного значення коріння або відрізка, що містить коріння;

2) уточнення наближеного значення до деякої заданої точності.

Початкове наближення може бути знайдене декількома способами: з фізичних міркувань, з рішення аналогічної задачі при інших початкових даних, за допомогою графічних методів.

Якщо такі початкові оцінки коріння провести не вдається, то знаходяться дві крапки а і b, в яких безперервна функція f(x) з рішення рівняння f(x)=0 має різні знаки:

.

Тоді на відрізку є хоча б одна крапка, в якій f(x)=0.

Початкового наближення х₀ можна прийняти як, наприклад, середину відрізка :

.

Надалі ітераційний процес полягає в послідовному уточненні початкового наближення х₀, кожен такий крок називається ітерацією.

В результаті ітераційного процесу знаходитися послідовність наближених значень коріння: х₀, х₁, х₂, …, х_n.

Якщо послідовність наближень із зростанням n наближається до істинного значення коріння, то це значить, що ітераційний процес сходиться.

3.2.1 Метод половинного розподілу.

Хай дане рівняння f(x)=0, де f(x) безперервно на відрізку і . Візьмемо як початкове наближення середину відрізка .

Якщо , то коріння знайдене.

Якщо , то з двох інтервалів та вибираємо той, на кінцях якого функція f(x) має різні знаки.

Вибраний інтервал знову ділиться навпіл, і проводяться ті ж дослідження, що і з інтервалом .

Цей процес продовжується до тих пір, поки значення модуля функції f(x) після n-й ітерації не стане менше заданого малого позитивного числа :

,

або якщо одержаний відрізок , або

.

3.2.2 Метод виключення інтервалів.

Метод пошуку, який дозволяє визначити оптимум функції однієї змінної шляхом зменшення інтервалу пошуку, називається методом виключення інтервалів. Всі методи одновимірної оптимізації засновані на припущенні, що досліджувана цільова функція допустимої області, принаймні, володіє властивістю унімодальності, оскільки для унімодальной функції W(x) порівняння значень W(t) в 2-х точках інтервалу пошуку дозволяє визначити, в якому із заданих 2 – мя вказаними точками підінтервалів точки екстремуму відсутні.

Правило виключення інтервалів

Хай W(x) унімодална на відрізку [а, b], а її мінімум досягнутий в точці x’. Розглянемо х1 і х2 розташовані усередині відрізка аb

Якщо W(x1)W(x2), то точка мінімуму W(x) не лежить на інтервалі (а, х1), тобто .

Якщо W(x1)W(x2), точка мінімуму W(x) не лежить на інтервалі (х2, b), x’(а, x2). Це правило дозволяє реалізувати процедуру пошуку шляхом послідовного виключення початкового обмеження інтервалу. Пошук завершується тоді, коли підінтервал, що залишився, зменшується до достатньо малих розмірів (необхідна точність).

Процес застосування методів пошуку на основі виключення інтервалів включає 2 етапи:

1) Етап встановлення меж інтервалу;

2) Етап зменшення інтервалу.