2. Проблема непротиворечивости исчисления высказываний.

Логическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не доказуемы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует такая формула А, что доказуема как формула А, так и формула .

Проблема непротиворечивости заключается в выяснении вопроса: является данное исчисление непротиворечивым или нет?

Если в исчислении обнаруживаются доказуемые формулы вида А и , то такое исчисление называется противоречивым. В рассмотренном нами исчислении высказываний невозможно вывести одновременно формулы А и , т.е. это исчисление высказываний непротиворечиво.

3.Проблема полноты исчисление высказываний.

Определение 1.

Аксиоматическое исчисление высказываний называется полным в узком смысле, если добавление к списку его аксиом любой недоказуемой в исчислении формулы в качестве новой аксиомы приводит к противоречивому исчислению.

Определение 2.

Исчисление высказываний называется полным в широком смысле, если любая тождественно истинная формула в нем доказуема.

Из этих определений следует, что проблема полноты исчисления высказываний содержит два вопроса:

1. Можно ли расширить систему аксиом аксиоматического исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы?

2. Является ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуемой в исчислении высказываний?

Рассмотренное нами исчисление высказываний полно как в узком смысле, так и в широком.

4.Проблема независимости аксиом исчисления высказываний.

Для всякого аксиоматического исчисления возникает вопрос о независимости его аксиом. Вопрос этот ставится так : можно ли какую-нибудь аксиому вывести из остальных аксиом, применяя правила вывода данной системы?

Если для некоторой аксиомы системы это возможно, то эту аксиому можно исключить из списка аксиом системы, и логическое исчисление при этом не изменится, т. е. класс доказуемых формул останется без изменений.

Определение 3.

Аксиома А называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом. Система аксиом исчисления называется независимой, если каждая аксиома системы независима.

Рассмотренная нами система аксиом исчисления высказываний независима.

Предикаты

§1. Недостаточность логики высказываний. Понятие предиката.

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности.

Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении “Всякий ромб – параллелограм; АВСD – ромб; следовательно, АВСD - параллелограм ” посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании;

предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании “7 - простое число”, “7” – субъект, “простое число” – предикат. Это высказывание утверждает, что “7” обладает свойством “быть простым числом”.

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму “х – простое число”. При одних значения х (например, х=13, х=17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х=10, х=18) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1;0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Дадим несколько определений, относящихся к предикатам.

Определение 1.

Одноместным предикатом Р(x) называется произвольная функция переменного x, определенная на множестве M и принимающая значение из множества {1; 0}.

Множество М, на котором определен предикат Р(x), называется областью определения предиката Р(x).

Множество всех элементов , при которых предикат принимает значения “истина” (1), называется множеством (областью) истинности предиката Р(x), т.е. множество истинности предиката Р(х)- это множество или иначе: или так: Так, например, предикат Р(x) – “x – простое число” определен на множестве N, а множество истинности I_P для него есть множество всех простых чисел.

Предикат Q(x) – “sinx=0” определен на множестве R, а его множеством истинности является

Предикат F(x) – “диагонали параллелограма x взаимно перпендикулярны” определен на множестве всех параллелограмов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Из приведенных примеров видим, что одноместные предикаты выражают свойства предметов (субъектов).

Определение 2.

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным, если его множество истинности совпадает с областью определения, т. е. I_p=M.

Определение 3.

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно ложным, если его множество истинности является пустым множеством, т. е. I_p=0.

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.

Примером бинарного отношения, т. е. отношения между двумя предметами, является отношение “меньше ”. Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой “х<y”, где , то–есть является функцией двух переменных Р(х,y), определенной на множестве упорядоченных пар целых чисел ZхZ=Z² c множеством значений {1;0}.

Определение 4.

Двухместным предикатом Р(x,y) называется функция двух переменных x и y, определенная на множестве М=М₁хМ ₂ и принимающая значения из множества {1;0}.

В числе примеров двухместных предикатов можно назвать такие предикаты: Q(x, y) – “x=y” - предикат равенства, определенный на множестве RхR=R²; F(x,y) – “х параллелен y”, “прямая х параллельна прямой y”, определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Совершенно аналогично вводится понятие трехместного предиката. Приведем пример трехместного предиката (функции трех переменных): S(x,y,z) – “x+y=z”. Подстановка в него х=3 превращает его в двухместный предикат: S(y,z) – “3+y=z”, а подстановка х=3, z=2 – в одноместный предикат S(y) – “3+y=2”.Подстановка же S(2,3,5) превращает его в истинное высказывание, а S(1,7,4)– в ложное.

Аналогично определяется и n-местный предикат (функция n переменных). Пример п- местного предиката:

R(x₁, x₂,…,x_n): a₁ x₁+…+a_nx_n=0,

который, как видим, представляет собой алгебраическое уравнение с n неизвестными.

При n=0 будем иметь нульместный предикат – это логическая (пропозициональная) переменная, принимающая значения из множества {1;0}.