- •1.Законы Ньютона
- •2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.Первая основная задача динамики пункта и ее решение
- •4. Вторая основная задача динамики точки и ее решение
- •5. Виды колебаний материальной точки. Свободные колебания
- •6. Затухающие колебания точки
- •7. Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления среды
- •8. Вынужденные колебания точки при наличии сопротивления среды
- •9. Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова сила инерции
- •10. Некоторые основные понятия динамики системы материальных точек (система материальных точек, связи, силы)
- •11. Масса и центр масс системы материальных точек
- •12. Момент инерции тела. Радиус инерции
- •13. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
- •14. Осевые моменты инерции тел простейшей формы
- •15. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения
- •16. Количество движения механической системы. Импульс силы
- •17. Теоремы об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения
- •18. Момент количества движения материальной точки и механической системы
- •19. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы. Закон сохранения
- •20. Кинетическая интерпретация теоремы моментов (теорема Резаля)
- •21. Две меры механического движения. Кинетическая энергия материальной точки
- •22. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •23. Работа силы. Мощность. Теоремы о работе. Примеры вычисления работы
- •24. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кенига
- •25. Кинетическая энергия твердого тела
- •26. Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •27. Вычисление работы сил, действующих на твердое тело
- •28. Элементарная теория гироскопа. Гироскоп с тремя степенями свободы
- •29. Движение тяжелого гироскопа
- •30. Возможные перемещения. Идеальные связи
- •31. Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
- •32. Методика применения принципа возможных перемещений
- •33. Понятие о принципе Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки
- •34. Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •35. Приведение сил инерции
- •36. Общее уравнение динамики
- •37. Обобщенные координаты. Обобщенные скорости и число степеней свободы механической системы.
- •38. Обобщенные силы и способы их вычисления
- •39. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах
- •41. Уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода
- •42. Методика применения уравнений Лагранжа второго рода для решения задач
- •43. Понятие о потенциальном (консервативном) силовом поле и потенциальной энергии. Закон сохранения механической энергии
- •44. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем
- •45. Понятие об устойчивости равновесия консервативной системы
- •46. Понятие о малых колебаниях механической системы
6. Затухающие колебания точки
Материальная точка, совершая колебания в реальных условиях, испытывает сопротивление движению (трение, сопротивление среды и т.п.). Это означает, что кроме восстанавливающей силы, направленной к центру колебаний, на точку действует сила сопротивления, всегда направленная в сторону, противоположную направлению движения точки.
Сила сопротивления при малых скоростях прямо пропорциональна первой степени скорости точки:
,
где – постоянный коэффициент.
Наличие сопротивления среды на технических схемах изображается с помощью демпфера.
Он представляет собой цилиндр, наполненный вязкой жидкостью, в котором движется поршень.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекции на ось Х
(3.7.1)
где .
Величина k является частотой свободных колебаний точки. Коэффициент b характеризует сопротивление среды.
Уравнение (3.7.1) является дифференциальным уравнением движения материальной точки под действием восстанавливающей сила и силы сопротивления, пропорциональной скорости. Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Отметим свойства затухающих колебаний:
1. При наличии сопротивления среды, пропорционального скорости движения точки, колебания затухают по закону геометрической прогрессии.
2. При наличии сопротивления среды частота колебаний убывает (по сравнению со свободными колебаниями), а их период увеличивается.
7. Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления среды
Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую, кроме восстанавливающей силы, действует сила, периодически изменяющаяся во времени, называемая возмущающей силой.
Рассмотрим простейший, но практически очень важный случай, когда возмущающая сила изменяется по гармоническому закону
,
Составим дифференциальное уравнение движения точки:
(3.8.1)
где .
Уравнение (3.8.1) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления. Это уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка, общее решение которого имеет вид
, (3.8.2)
где – общее решение однородного уравнения ; – частное решение уравнения (3.8.1).
Из предыдущих расчетов известно, что (3.8.3).
В соответствии с видом функции правой части уравнения (3.8.1) частное решение при условии, что , будем искать в виде:
, (3.8.4)
где А – неизвестная постоянная.
Для определения значения A вычисляем вторую производную уравнения (3.8.4):
(3.8.5)
Подставим в уравнение (3.8.1) уравнения (3.8.4) и (3.8.5). Получим, что (3.8.6).
Таким образом, общее решение уравнения (3.8.1) примет вид
. (3.8.7)
Постоянные а и α зависят от начальных условий.
Уравнение (3.8.7) показывает, что точка М совершает сложное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний: свободных колебаний и чисто вынужденных колебаний точки.
Вынужденные колебания малой частоты не зависят от начальных условий и определяются условием
.
При условии вынужденных колебаний большой частоты
. (3.8.8)
Из уравнения (3.8.8) следует, что при фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на величину π.
При , т.е. при равенстве частот свободных и вынужденных колебаний, имеет место явление, называемое резонансом. В этом случае частное решение дифференциального уравнения (3.8.1) имеет вид
. (3.8.9)
Из (3.8.9) видно, что в случае p=k размахи вынужденных колебаний возрастают пропорционально времени.
Коэффициент динамичности определяется по формуле
,
где – коэффициент расстройки частот.
Коэффициент динамичности характеризует динамические свойства колеблющейся системы, т.е. ее чувствительность к динамическим воздействиям.