- •9.Теорема гипотез(Формулы Байеса).
- •13.Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
- •16.Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •19. Среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.
- •20.Числовые характеристики(мо, дсв,ско) взаимно независимых св. Начальные и центральные моменты. Мо.
- •24.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства. График плотности распределения (равномерное распределение).
- •26. Вероятность попадания в заданный интервал и вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины. Правило 3-х сигм. Коэффициент асимметрии. Эксцесс.
- •30. Задачи математической статистики.
- •38.Непараметрические критерии согласия (критерии а-Колмагорова, критерии знаков)
24.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства. График плотности распределения (равномерное распределение).
Опр. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию - первую производную от функции распределения : = . Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Свойства. Плотность распределения - неотрицательная функция: .
Доказательство: Функция распределения – неубывающая функция, следовательно, ее производная = - функция неотрицательная. Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью , либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения.
Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен единице: .
Доказательство: Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу . Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице. Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью и кривой распределения, равна единице. В частности если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то .
Опр. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, Х имеет равномерное распределение.
Найдем плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (a,b), на котором функция сохраняет постоянные значения. По условию, Х не принимает значений вне интервала (a,b), поэтому при х<a и x>b. Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной принадлежат интервалу (a,b), то должно выполнятся соотношение , или . Отсюда . Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения
График плотности равномерного распределения изображен на рис.6, а график ф-ии распределения -на 4.
25. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормальный закон распределение.
Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(х). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [а, b]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной и выберем в каждом из них произвольную точку xi (i=1, 2, ..., n). Определим математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений х{ на вероятности попадания их в интервал (напомним, что произведение / (х) Ах приближенно равно вероятности попадания X в интервал Ах):
. Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а,b], называют определенный интеграл . (*)
Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то .
Предположим, что существует интеграл . Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к , а верхнего - к .
Определим дисперсию непрерывной величины.
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если возможные значения X принадлежат отрезку [а, b], то
е сли возможные значения принадлежат всей оси х, том
.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством .
Замечание 1. Cвойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.
Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы
(**)
.
Замечание 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины /?, распределенной равномерно в интервале (0, 1), т. е. если а = 0, b=1, соответственно равны М(R) = 1/2, D(R) =1/12.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
Ннормальное распределение определяется двумя параметрами: а есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.
а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,
.
Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интег рирования равны старым, получим
.
Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны
Ннормальное распределение определяется двумя параметрами: а есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.
а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,
.
Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интег рирования равны старым, получим
.
Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны отн/но начала координат). 2-е из слагаемых равно а
( интеграл Пуассона ). Итак, М (X) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.
б) По опр/ю дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что
М(Х) = а, имеем
Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим
.
Интегрируя по частям, положив и = z, , найдем .
След/но, .
Cреднее квадратич отклонение нормального распределения равно параметру .
Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и ( > 0).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а =0 и =1.
Замечание 2. Функция F(х) общего нормального распределения
,
а функция нормированного распределения
Функция F0 (x) табулирована. Легко проверить, что F(х) = F0 ((х-а)/ ).
Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величиныX в интервал (0, х) м/о найти, пользуясь функцией Лапласа .Действительно
.
Замечание 4. Учитывая, что , и, сл/но в силу симметрии относ/но нуля свойство 2), и, след/но, в силу симметрии отн/но нуля
, а значит, и , легко получить, что
Действительно,