13.Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Биномиальное распределение.Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (след-но q=1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случ.величины X число появлений события A в этих испытаниях. Найдем закон распределения вел. X для этого опре-им возм-е его знач-я и их вер-ти. Событие A в n испытаниях может не появиться или появиться от 1до n раз. Т.о, значения X таковы x1=0, x2=1, … x(n+1)=n. Вероятность опред-м по ф-ле Бернулли: где k=0…n. Эта ф-ла явл-ся анал-им выр-ем искомого з-на распред-я. Биномиальным наз-ют распред-е вер-ти, опред-ое ф-лой Бернулли. Первый член разложения определяет вер-ть наступления рассматриваемого события n раз в n незав-ых испытаниях, второй член np^(n-1)q опред. вер-ть наступ. события n-1 раз, … последний член q^n опред-т вер-ть того,что событие не появиться ни разу. Биномиальный з-н в виде табл: . Распределение Пуассона. Пусть произв-ся n незав-х испытаний в каждом из к-ых вер-ть появл-я события A равна p. Для опр-я вер-ти k появл-й события A исп-ют ф-лу Бернулли. Если же n велико, то польз-ся асимп-ой ф-лой Лапласа. Она не применима если p≤0,1. Тода исп-ют асимп-ую ф-лу Пуассона. Найдем вер-ть того,что при очень большом числе испытаний, где p очень мала, событие наступит =k раз.Допустим, что np=λ= const. След-но, среднее ч-ло появлений события в разл-х сериях испытаний, т.е.при разных n, остается неизменным. Исп-ем ф-лу Бернулли с учетом допущения np=λ получим Т.к n дост-но большое,то вместо найдем . Найдется приближенное зн-е.Т.к np=const. то при вер-ть .вычисляя получаем, что интересующая нас вер-ть Эта ф-ла выражает з-н распред-я Пуассона вер-тей массовых (n велико) и редких (p мало) событий.

14.Поток событий. Пуассон.поток событий. Рассм .события, к-е наступают в слу­чайные моменты времени.Потоком событий называют последовательность со­бытий, кот.наступают в случ.моменты времени. Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной мед.помощи, при­бытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов эле­ментов и др.1⁰ Св.стационарности харак-ся тем, что вер-ть появления k событий на любом промежутке времени зависит т/о от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различ. промежутки времени предполагаются непересекающимися. Нр, вероятности появления k собы­тий на промежутках времени(1;7),(10;16), (Т;Т+6) одинаковой длительности t = 6 ед. времени равны между собой.Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

2⁰ Свойство отсутствия последействия харак-ся тем, что вер-ть появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествую­щие началу рассматриваемого промежутка. Др.сло­вами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рас­сматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероят­ности. Т.о., предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекаю­щиеся промежутки времени.3⁰ Св. ординарности харак-ся тем, что по­явление 2х и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Др.слов., вер-ть появления более одного события пренебре­жимо мала по сравнению с вероятностью появления т/о одного события.

Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события. Простейшим (пуассоновским) наз.поток собы­тий,кот.обладает св-вами стационарности, отсут­ствия последействия и ординарности.Замечание.Если поток представляет собой сумму очень больш. числа незав. стационарных потоков, влияние каждого из кот. на всю сумму (суммарный поток) ничтожно мало, то суммарный поток (при условии его ординарности) близок к простейшему.Интенсивностью потока наз. сред. число событий, кот. появляются в единицу времени.Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий про­стейшего потока за время длительностью t определяется ф-лой Пуассона .Эта ф-ла отражает все св-ва простейшего потока.Из ф-лы видно, что вер-ть появления k событий за время t, при заданной интен­сивности явл.функцией k и t, что харак-ет св-во стационарности.Ф-ла не использует информации о появлении собы­тий до начала рассматриваемого промежутка, что харак-ет св-во отсутствия последействия.Ф-ла отражает св-во ординар­ности. Положив k=0 и k=1 найдем соотв-но вероятности непоявления событий и появления одного события: , .=>но,вер-ть появления более одного со­бытия .Пользуясь разложением ,после элементарных преобразований получим .Сравнивая P_t(1) и P_t(k>1),заключаем, что при малых значениях t вер-ть появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что харак-ет св-во ординарности.Итак, формулу Пуассона можно считать математи­ческой моделью простейшего потока событий.

15.Геометрическое и гипергеометрическое распределения. Геометрич.распред.Пусть производ. независ.исп-я,в кажд. из к-х вер-ть появ-я соб. А равна р (0<р<1) и, след-но, вер-ть его непоявления q=1-р.Исп-я зак-ся, как т/о появ.соб-е А. Т.о.,если соб-е А появ-сь в k-м испыт-и, то в предшествующих k-1 испыт-х оно не появлялось.Обоз. ч/з X дискр. Случ. величину — число испыт-й, к-е н/о провести до первого появ-я соб. А. Очевидно, возможными знач-ми X яв-ся нат. числа: х_х=1, х₂=2, ...Пусть в первых k—1 исп-х соб. А не нас-о, а в k-м исп-ии появ-сь. Вер-ть этого «слож. соб-я», по теореме умн-я вер-ей незав-х соб-ий, Р (X=k)= q^k-¹p.(1) Полагая к=1,2,...в (1),получ. Геометр.прогр. с перв.членом р и знамен q (0<q<1):q ,qp,q²p,…,q^k-1p,…(2).По этой причине распред-е (1) наз-ют геометрическим. Легко убед-ся,что ряд (2) сх. и сумма его равна 1.Действ-но,сумма ряда (2) p/(1-q)=p/p=1. Гипергеометрич. распред.Расс-м задачу:. пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из партии случайно отбирают п изделий (кажд. изделие м/т б/ь извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэт. формула Бернулли здесь неприменима). Обоз. ч/з X случ-ю величину—число т станд-х изделий среди п отобранных. Очев-но, возмож-е знач-я X таковы: 0,1,2,... ,min(M, n).Найдем вер-ть того, что Х=m, т.е. что среди п отобр-х изделий ровно т станд-х. Исп-ем для этого классич-ое опр-е вер-ти. Общее число возмож-х элем-х исходов испыт-я равно числу способов, к-ми м/о извлечь п изделий из N изделий, т.е. числу сочетаний .C^m_N.Найдем ч-о исходов, благоприят-х событию Х=т (среди взятых п изделий ровно т станд-х); т станд-х изделий м/о извлечь из М станд-х изделий C^m_N способами; при этом ост-е п—т изделий д/ы б/ь нестанд-ми; взять же п—т нестанд-х изделий из N—т нестанд-х изделий м/о способами. След-о, число благопр-их исходов равно .Искомая вероят-ть равна отнош-ю числа исходов, благопр-х соб-ю Х=m, к ч-у всех элем-х исходов

(3).

Ф-а (3) опред-ет распред-е вероят-ей к-е наз-ют гипергеометрическим. Учит,что т—случ. Вел., заключаем, что гипергеом-е распред-е опред-ся тремя пар-ми: N,M,п. Иногда в кач-ве парам-в этого распред-я рассм-ют N,n, и p=M/N, где р-вер-ть того, что первое извлеченное изделие станд-ое.Заметим, что если п знач-но меньше N, то гипергеом-е распред-е дает вероят-ти, близкие к вероят-ям, найденным по биномиальному закону.