Ограниченность числового множества:

Пусть Х содержит хотя бы один элемент, тогда:

0. Х называется ограниченным сверху, если существует , такое что для всех х из Х Число М называют верхней границей. Ясно, что этих чисел бесчисленное множество.

1. Х называется ограниченным снизу, если существует , такое, что для всех х из Х Число m называют нижней гранью.

{Х} называется ограниченным, если существуют рациональный числа, такое, что для всех и существует такое, что для всех .

Наименьшая из всех верхних граней множества называется его точной верхней гранью.

Наибольшая из всех нижних множества называется его точной нижней гранью.

Теорем о существовании точных верхней и нижней граней:

. Если ограничена сверху (снизу), то существует конечная точная верхняя (нижняя) грань этого множества.

n-мерное евклидово пространство:

Упорядоченный набор называют n-мерной точкой.

Множество всех мыслимых n-мерных точек называют n-мерным арифметическим пространством.

Арифметическое пространство называют n-мерным евклидовым пространством, если в нём введена метрика, то есть понятие расстояния – набор –

ε-окрестность в точке называют множеством так, что

На пример в двухмерном пространстве:

Некоторые характеристики Rn:

Точка М называется внутренней точкой , если существует ε-окрестность этой точки, целиком входящая в это множество.

Точка М называется граничной точкой, если в любой её окрестности есть точки как входящие в множество, так и нет.

Множество называется открытым, или областью, если все её точки внутренние.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все граничные точки.

Множество называется ограниченным, если все его точки принадлежат шару конечного радиуса.

Множество называется связанным, если любые две его точки можно соединить ломанной с конечным числом звеньев, все точки которой принадлежат данному множеству.

Вопрос № 3 Понятие функции, как отображения:

1. Понятие функции, как отображения.

2. График функции.

3. Способы задания функций.

4. Классификация функций.

5. Основные элементарные функции.

Соответствие называется отображение Х в Y, если существует у, принадлежащий Y.

Соответствие называется отображение Х на Y, если для всех у из Y существует х из Х такой, что элемент х может быть не единственным.

Отображение чисел множества Х в R называется числовой функцией.

• х – область определения функции – D(f);

• y – область значения функции – E(f);

• 

Графиком множество точек плоскости .

Классификация функций:

• Однозначные и многозначные:

• Явные и неявные:

• Элементарные и неэлементарные:

  • Любая функция, полученная конечным числом основных элементарных функций, а так же путём арифметических действий, в конечном числе я является элементарной функцией.

  • Не элементарная функция –

Вопрос № 4 Числовая последовательность:

1. Числовая последовательность.

2. Определение предела.

3. Геометрическая интерпретация.

4. Сходящаяся последовательность.

5. Критерий Коши.

Пусть в Rⁿ для всех к из , получаемый таким образом набор точек называют точной последовательностью в Rⁿ.

Точка А из Rⁿ есть если для всех ε>0 существует N_ε такой, что при всех , при этом называют

Для R¹ задание точной равносильно заданию координат этих точек .

То есть – счётное множество чисел, занумерованных всеми натуральными числами и расположенными в порядке возрастания номеров. Эти числа называется элементами последовательности, а х_n – общий элемент. Задать числовую последовательность – значит задать формулу её общего элемента.

Число а называется , если для всех ε>0 существует N_ε такой, что при всех – вне интервала находится конечное число N_ε элементов последовательности.