Вопрос № 46: Первообразная:

1. Первообразная.

2. Теорема об общем виде первообразной.

3. Неопределённый интеграл и его свойства.

4. Достаточное условие существования.

– называется первообразной от на некотором промежутке Х, если дифференцируема на нём, и для всех х из Х

Операция отыскания всех первообразных функции называется интегрированием.

Если первообразная для , то , где с- константа то же является первообразной, а так же любая первообразная имеет вид

Доказательство:

1. Если , то Действительно

2. Пусть и существует для всех х из Х. Рассмотрим – единственная функция, производная от которой равна нулю – константа, следовательно рассмотренные нами первообразные различаются на константу.

Таким образом общий вид первообразной , эта функция называется неопределённым интегралом для заданной . Её обозначают: , выражение – под интегральным выражением, а саму функцию – под интегральной функцией.

Свойства неопределённого интеграла:

1. – дифференциал из интеграла – сама функция.

2. 

3. 

4. 

Достаточное условие существования неопределённого дифференциала:

Если непрерывна на Х, то существует первообразная принадлежащая этому интервалу.

Вопрос № 47: Замена переменной, как один из основных методов интегрирования:

Метод замены переменной основан на утверждении, что

Доказательство:

Функции непрерывны на соответствующем промежутке. По правилу дифференцирования сложной функции: – что и требовалось доказать.

Пример:

Заметим, что при введении новой переменной в под интегральном выражении должна быть её производная.

Вопрос № 48: Метод интегрирования по частям:

1. Метод интегрирования по частям.

   1. Вывод формулы.

Пусть имеют на Х непрерывную производную.

Рассмотрим дифференциал от произведения , возьмём интеграл от обоих частей равенства , от сюда получается формул дифференцирования по частям.

Типы функций, интегрируемых данным методом:

Замечание:

Существуют элементарные функции, первообразная для которых не выражается через элементарные функции, такие интегралы называют неберущимися:

Вопрос № 49: Интегрирование элементарных дробей:

1. Интегрирование элементарных дробей.

2. Интегрирование дробно-рациональной функции.

Вывод рекуррентной формулы:

Интегрирование рациональных дробей.

– дробная рациональная функция. Правильная, если п<m, и неправильная в обратном случае.

Заметим, что из неправильной дроби модно выделить целую часть и представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Среди всех правильных дробей выделяют элементарные и простые дроби.

Элементарные дроби – это дроби вида:

Интегрирование элементарных дробей:

Интегрирование элементарных дробей:

1. 

2. 

***

Вопрос №50: Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений:

– дробное рациональное выражение от

Интегрирование производится с помощью универсальной подстановки:

Однако эта замена иногда приводит к очень сложным выражениям, по этом модно предложить другую замену:

Так же можно применять тригонометрические преобразования:

Интегрирование иррациональности:

Основная идея заключается в том, что бы рационализировать подынтегральное выражение.

Многочлен п-1-ой степени с неопределёнными коэффициентами.

Вопрос № 51: Задачи, приводящие к определённому интегралу:

Физический смысл интеграла:

Пусть представляет собой закон скорости движения материальной точки вдоль оси ординат. Ставится задача вычислить путь между двумя пунктами, который проходит точка.

Отрезок разбивается на малые промежутки, число которых стремится к бесконечности. В этом случае путь считается, как сумма значений функции на этих промежутках. При увеличении числа промежутков на отрезке, получаемая сумма будет стремиться к истинному значению пути.

В этом случае путь нужно считать, как предел суммы значений функции на атом отрезке.

Вопрос № 52: Интегральные суммы:

1. Интегральные суммы.

2. Определённый интеграл.

3. Геометрический смысл.

4. Свойства, связанные с равенствами.

5. Понятие подынтегральной функции.

Геометрический смысл интеграла:

Геометрический смысл интеграла представляет собой площадь фигуры – кривой, состоящей из бесконечного количества прямоугольников.

Эта площадь приблизительно равна площади криволинейной трапеции.

Построение определённого интеграла:

определена на отрезке. Разобьём его на малые части и возьмём на тогда Число – называется определённым интегралом для функции на отрезке.

Число – называется определённым интегралом для функции на отрезке, и обозначается:

Классификация интегрируемых функций:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на нём.

2. Если функция монотонная и ограничена на отрезке, значит она интегрируема на нём.

Свойства определенного интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. Если две различные функции интегрируемы на отрезке, значит их сумма, разность, произведение так же интегрируема на отрезке.

5. Если функция имеет интеграл на отрезке, значит произведение функции на константу так же имеет интеграл.

6. Если функция интегрируема на отрезке, то она интегрируема на всех отрезках, входящих в первый.

Оценки интегралов:

1. Если функция интегрируема на отрезке, неотрицательна, для х из отрезка, тогда её интеграл на отрезке так же неотрицателен. Действительно все интегральные суммы больше, либо равны нулю, а по свойству их общий придел больше, либо равен нулю. Следствие:

2. Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке, то

3. Если две различные функции интегрируемы на отрезке, и первая больше второй, то интеграл от первой будет больше интеграла от второй на отрезке. Следствие: Если функция интегрируема на отрезке, то модуль функции так же интегрируем на отрезке, и имеет место оценка, что модуль интеграла функции меньше, либо равен интегралу модуля функции.