6.4. Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

y' (t) = f(t, y(t))

с начальным условием

y(t₀ ) = y_0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = и построим сетку с системой узлов

t_i = t₀ + ih, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через y_i приближенное значение искомого решения в точке t_i.

Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

y_i+1 = y_i + h(k + 2k + 2k + k ),

k = f(t_i, y_i),

k = f(t_i + , y_i + k ), (6.17)

k = f(t_i + , y_i + k ),

k = f(t_i +h, y_i + hk ),

i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R  |y - y |. (6.18)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y , i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R  |y - y | < . (6.19)

Приближенным решением будут значения y , i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.

y' (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)

Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n = = 10.

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

y_i+1 = y_i + h(k + 2k + 2k + k ),

k = 2t_iy_i,

k = 2(t_i + )(y_i + k ), (6.21)

k = 2(t_i + )(y_i + k ),

k = 2(t_i +h)(y_i + hk ),

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями _i = | y(t_i) – y_i|.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения y_i и их погрешности _i представлены в таблице 6.5:

Таблица 6.5

ti	yi	i	ti	yi	i
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5	1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403	10-9 410-9 210-8 610-8 210-7	0.6 0.7 0.8 0.9 1.0	1.43333 1.63232 1.89648 2.24790 2.71827	510-7 210-6 310-6 610-6 210-5