3.3. Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Хотя метод Гаусса является точным методом, ошибки округления могут привести к существенным погрешностям результата. Кроме того исключение по формулам (3.7) нельзя проводить, если элемент главной диагонали a равен нулю. Если элемент a мал, то велики ошибки округления при делении на этот элемент. Для уменьшения ошибок округления применяют метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Прямой ход так же, как и для схемы единственного деления, состоит из n – 1 шагов. На первом шаге прежде, чем исключать переменную x1, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент ai1, i = 1, 2, …, n. В дальнейшем, на k-м шаге, прежде, чем исключать переменную xk, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент aik, i = k, k + 1, …, n. После этой перестановки исключение переменной xk производят, как в схеме единственного деления.
Трудоемкость метода. Дополнительные действия по выбору главных элементов требуют примерно n2 операций, что практически не влияет на общую трудоемкость метода.
Пример 3.2.
Применим метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу для решения системы уравнений (3.10) из примера 3.1. Прямой ход. 1-ый шаг. Так как коэффициент a11 = 2.0 наибольший из коэффициентов первого столбца, перестановки строк не требуется и 1-ый шаг полностью совпадает с 1-ым шагом примера 3.1. Из второго, третьего и четвертого уравнений исключается переменная x1 и система приводится к виду (3.11).
2-ой шаг. Наибольший по модулю коэффициент при x2 в системе (3.11) a = –1.15. Поэтому переставим уравнения следующим образом:
2 .0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
–1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3.14)
0.3x2 + 4.02x3 – 8.70x4 = 21.36
– 0.30x2 + 2.55x3 – 1.50x4 = 8.55
Вычислим множители:
m
=
=
= –0.26087 m
=
=
= 0.26087.
Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.14) второе уравнение, умноженное соответственно на m и m , приходим к системе:
2 .0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
–1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3.15)
4.28478x3 – 7.38261x4 = 20.23696
2.28522x3 – 2.81739x4 = 9.67305
3-ий шаг. Вычислим множитель:
m
=
=
= 0.53333.
Вычитая из четвертого уравнения системы (3.15) третье, умноженное на m , приведем систему к треугольному виду:
2 .0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
–1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3.16)
4.28478x3 – 7.38261x4 = 20.23696
1.11998x4 = –1.11998
Обратный ход. Обратный ход полностью совпадает с обратным ходом примера 3.1. Решение системы имеет вид:
x1 = 1.000, x2 = 2.000, x3 = 3.000, x4 = – 1.000.