Види середніх величин.
Середні, що застосовуюить у статистиці, належать до класів:
- середніх степеневих;
- середніх показових.
Узагальнена форма середньої степеневої:
,
де x – індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти);
m – показник ступеня середньої;
n – число варіант (значень).
Конкретний вид середньої залежить від показника ступеня.
Таблиця
Формули степеневих середніх
Ступінь |
Вид середньої |
Формула |
0 |
Геометрична |
|
1 |
Арифметична |
|
2 |
Квадратична |
|
-1 |
Гармонійна |
|
Степеневі середні використовують:
- арифметичну – для вивчення закономірностей розподілу;
- геометричну – для вивчення закономірностей інтенсивності розвитку;
- квадратичну – для вивчення варіації.
Якщо визначати на основі однієї й тієї ж самої вихідної інформації різні види середніх, то їхні значення будуть різні. Співвідношення між ними має вигляд
і називається правилом мажорантності.
Це правило не може бати застосоване в соціально-економічній статистиці, оскільки обчислення різних середніх для однієї й тієї ж сукупності не є дроцільним. Не може бути двох урожайностей цукрових буряків у одному господарстві за один і той же рік.
Вид середньої необхідно вибирати на основі всебічного теоретичного аналізу суті явища та наявної інформації.
Середня лише тоді є справжньою узагальнюючою характеристикою, коли при заміні нею всіх варіантів загальний обсяг варіюючої ознаки залишиться незмінним.
Отже, вид середньої в кожному конкретному випадку обирають залежно від того, що являє собою загальний обсяг варіюючої ознаки.
7. Середня арифметична.
Вона є найбільш поширеною. Застосовується, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності являє собою суму індивідуальних значень її окремих елементів.
За своєю формою вона буває простою та зваженою.
Проста середня арифметична застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі первинних, незгрупованих даних, зібраних під час статистичного спостереження. Форма її запису:
.
Це сума індивідуальних значень варіюючої ознаки X, поділеної на число цих значень.
Зважена середня арфметична застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі згрупованих даних (даних первинних, що пройшли процес розроділу на групи за групувальними ознаками), передусім даних варіаційного ряду розподілу (дискретного, у якого варіанти виражені дискретними числами, або інтервального, у якого варіанти представлені у вигляді інтервалу значень варіюючої ознаки). Форма її запису:
,
де
- загальний обсяг варіюючої ознаки;
- обсяг сукупності.
Приклад.Є три ділянки, на яких вирощували зернові. Площа першої – 5 га; другої – 25 га, третьої – 20 га. Кожен з гектарів цих трьох площ дав відповідно по 22, 26 та 30 центнерів зерна. Логічна формула для визначення середньої урожайності на цих площах виглядає так:
Середня
урожайність на тьорх ділянках=
=
=
=
=
=27,2
ц/га
У прикладі варіанти, тобто урожайності, кожна мають свою частоту, тобто площу ділянки. Перемноживши варіанти на відповідні частоти одержимо збіл зерна на кожній ділянці. Сума цих добутків – це загальний обсяг ознаки, тобто валовий збір зерна на 50 га площі. Середня урожайність склала 27,2 ц/га.
Дещо умовного характеру набуває розрахунок середньої для інтервального ряду розподілу. В цьому випадку для кожної групи визначають середнє значення інтервалу як півсуми двох його меж. Потім ці середні значення використовуються як варіанти. Якщо інтервал відкритий, його ширину умовно приймають такою, як у сусідньому закритому інтервалі. Використання середини інтервалу як варіанти грунтується на припущенні, що в межах інтервалу індивідуальні значенняознаки розподіляються рівномірно. У разі відхилення від рівномірного розподілу середня інтервалу ряду буде менш точною, ніж середня, обчислена на основі первинних даних.
Середня арифметична має певні математичні властивості:
- алгебраїчна
сума відхилень усіх варіант від середньої
дорівнює нулю:
;
- якщо кожну варіанту збільшити або зменшити на будь яку постійну величину А, то середня зміниться відповідно на ту саму величину;
- якщо кожну варіанту розділити або помножити на будь яке довільне число А, то середня зменшиться або збільшиться в стільки ж разів;
- якщо частоту f кожної з груп зменшити або збільшити в одне й те ж саме число разів, то середня не зміниться;
- сума
квадратів відхилень варіант від середньої
арифметичної менша, ніж від будь якої
іншої величини, тобто
.
Третю та четверту властивості використовують для спрощення обчислення середньої у варіаційному ряді, який у своїй основі має рівні інтервали.