4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

, , .

,

, где , .

,

Теорема:

Если - корень кратности характеристического многочлена , то частное решение уравнения можно искать в виде , где , .

Доказательство:

Билет № 19

5°. Лос с постоянными коэффициентами.

, ,

- собственный вектор с собственным числом .

- корни характеристического многочлена.

- собственные вектора.

Опред.: Если собственные числа различны, то соответствующие им собственные вектора линейно-независимы.

Опред.: Линейный оператор (матрица) называется диагонализируемым, если она имеет линейно-независимых собственных векторов.

Опред.: Если - линейно независимы, то - ФСР.

Билет № 20

5°. Лос с постоянными коэффициентами.

Опред.: Если матрица не диагонализируемая, то ее характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Лемма:

Пусть - фундаментальная матрица ЛОС , где - матрица , а - невырожденная матрица. Тогда .

ЛОС , где

Доказательство:

Следствие 1:

Вывод: собственные числа увеличатся на .

Следствие 2:

- постоянная матрица.

Вывод: собственные числа не изменятся.

Теорема (о структуре общего решения):

Фундаментальную систему решений линейной однородной системы можно составить из подмножеств, соответствующих попарно различным корням характеристического многочлена, причем корню кратности соответствует линейно независ. решений вида , где - многочлены степени не превосходящей .

Доказательство:

Доказательство проводим индукцией по при фиксированном .

База индукции при все корни (собственные числа) различны теорема справедлива.

Шаг индукции. Предположим, что теорема справедлива для числа . Докажем ее для .

Без ограничения общности можно считать, что , , а теорема уже доказана для случая, когда - корень кратности , -корень кратности , -корень кратности .

Можно считать, что , иначе делаем замену на .

Пусть - собственный вектор, соответствующий . Значит, . Можно считать, что .

Сделаем замену переменных: , ,

.

,

Из уравнения следует:

учитывая, что , получаем: .

ФСР :

- многочлены, степени - многочлены, степени - многочлены, степени

ФСР

В данной матрице . - многочлены, степени - степень

, (где - фундаментальная матрица исходной системы).

В результате такого произведения получим матрицу, аналогичную матрице .

Билет № 21

1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.

Опред.: Решение называется непрерывно зависящим от начальных условий на интервале :

Теорема:

Если непрерывна на , на , то ур-я , непрерывно зависит от начальных условий на интервале , где , .

Доказательство: