- •Билет № 1
- •1°. Пример
- •2°. Определения.
- •3 °. Геометрический смысл ду.
- •4°. Задача Коши.
- •1°. Уравнение в полных дифференциалах.
- •2°. Принцип сжатых отображений.
- •3°. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
- •3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
- •5°. Нормальная линейная система (нлс).
- •1°. Линейная однородная система (лос).
- •2°. Фундаментальная система решений (фср).
- •Фундаментальная матрица однородной системы и её свойства. Определитель Вронского.
- •3°. Определитель Вронского (Вронскиниан).
- •5°. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.
- •Свойства уравнения :
- •4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.
- •2°. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.
- •3°. Теорема Ляпунова.
- •4°. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
2°. Принцип сжатых отображений.
,
Опред.: Оператор называется сжимающим, если
называется неподвижной точкой оператора , если .
Теорема:
Сжимающий оператор, отображающий полное метрическое пространство в себя, имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство:
Докажем единственность.
Докажем существование.
фундаментальная
Билет №5
3°. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
Теорема.
Пусть функция непрерывна в прямоугольнике , причем в . Тогда на интервале , где , существует и единственно решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .
Поставленная задача Коши эквивалентна решению интегрального уравнения.
Доказательство.
на .
. , на ,
.
Проинтегрируем это равенство на отрезке : .
Рассмотрим произвольный отрезок :
Рассмотрим метрическое пространство M, состоящее из непрерывных функций на отрезке и удовлетворяющих неравенству: на , M
M.
Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность - худ. из M.
, M
Рассмотрим на пространстве M сжимающий оператор : M .
, M
M.
,
M,
Элемент является функцией, удовлетворяющей интегральному уравнению и следовательно исходной задаче Коши.
- непрерывна в
Билет № 6
§ 4. Уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной.
1°. Уравнение вида .
Дифференцируем по :
Решая это уравнение, находим либо . Тогда либо .
В этой системе можно: либо исключить , либо рассматривать её как параметрическое задание .
2°. Уравнение вида .
Дифференцируем по
Решая это уравнение, найдем либо .
Тогда, подставляя, получим:
либо
3°. Уравнение Клеро.
.
Билет № 7
§ 5. Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка.
1°. Уравнения, не содержащие в явном виде.
2°. Уравнения, не содержащие в явном виде.
3°. Уравнения, однородные относительно .
.
Билет № 8
1°. Нормальная система.
Опред.: Нормальной системой называется совокупность уравнений вида:
, где - независимая переменная,
- искомые функции от , - задание функции от переменной.
Опред.: Нормальная система называется автономной (стационарной), если функции не зависят явно от , и неавтономной в противном случае.
Опред.: Решением нормальной системы на интервале называется совокупность функций , определенных на интервале , при подстановки которых все уравнения этой системы обращаются в тождества на интервале .
Опред.: Первым интегралом нормальной системы называется равенство , если оно выполняется для любого решения системы при соответствующем значении .
Опред.: Задачей Коши для нормальной системы называется задача нахождения решения этой системы, удовлетворяющего его условиям (начальное условие).
3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
Исключим из этих уравнений переменные . Тогда у нас останется уравнение, которое получается методом подстановки.
Подставим в последнее уравнение вместо переменных их выражение через переменные
: .
Теорема (о существовании и единственности решения нормальной системы):
Пусть функции и их частные производные , непрерывны в некоторой области (расширенное фазовое пространство). Тогда для каждой точки существует отрезок , такой что и единственное решение нормальной системы
, определенное на , удовлетворяющее условиям .
Доказательство:
(при интегрировании ).
.
Следствие (для дифференциальных уравнений - ного порядка):
Пусть правая часть дифференциального уравнения и её частные производные непрерывны в некоторой области . Тогда для любой точки существует интервал , такой что и единственное решение дифференциального уравнения, определенное на и удовлетворяющее условиям .
Опред.: Решение дифференциального уравнения - это функция от , это точка.