29. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона

Предположим, что выборка Х₁,…,Х_n произведена из генеральной совокупности с неизвестной теоретической функцией распределения, относительно которой имеются две непараметрические гипотезы: простая основная H₀: F(x)=F₀(x) и сложная конкурирующая H₀: F(x)≠F₀(x), где F₀(x) – известная функция распределения. Иными словами, мы хотим проверить, согласуются ли эмпирические данные с нашим гипотетическим предложением относительно теоретической функции распределения или нет. Поэтому критерии для проверки гипотез H₀ и H₁ носят название критериев согласия.

Критерии согласия подразделяются на два класса:

1. Общие – применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей.

2. Специальные – предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Группы общих критериев согласия:

а) Критерии, основанные на сравнении теоретической плотности распределения и эмпирич. гистограммы:

• Критерий согласия хи-квадрат

• Критерий числа пустых интервалов

• Квартильный критерий Барнетта-Эйсена

б) Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функций распределения вероятностей (расстояние между эмпирической и теоретической функциями распределения вероятностей является весьма эффективной статистикой для проверки гипотез о виде закона распределения вероятностей случайной величины):

Джини, Крамера-фон Мизеса, Колмогорова-Смирнова, Реньи (R-критерий), Андерсона-Дарлинга, Купера , Ватсона, Фроцини

Специальные критерии согласия:

- нормальное распределение

- экспоненциальное распределение

- равномерное распределение

Критерий Пирсона, или критерий χ2 (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Пусть имеется выборка х₁, х₂, ..., х_п значений СВ Х с неизвестной функцией распределения F(x). Требуется проверить гипотезу Н₀:{F(x) = F₀(x)}, о том, что СВ имеет нормальное распределение заданное распределение F₀(x) против альтернативной гипотезы Н₁:{F(x) ≠ F₀(x)}.

Во-первых, вычислим вероятности p_i попадания величины в i-й интервал, используя функцию Лапласа:

Но перед этим мы вычислили оценки матожидания и СДО, воспользовавшись формулами

где x_i – среднее значение границ интервала, p_i – вероятность попадания величины в интервал, n – количество результатов (объем выборки).

Далее, исходя из полученных значений, вычисляем меру расхождения по следующей формуле (критерий Пирсона χ²_набл):

n - кол-во опытов,

p_i – реальная вероятность,

p_i^* – вероятность частоты.

Затем определяем табличное значение функции распределения хи-квадрат.

1. Определяем количество степеней свободы: r=k-s, где k – количество интервалов, а s – число наложенных связей.

2. Определяем табличное значение функции распределения хи-квадрат для выбранной вероятности (α=0,01; 0,05; 0,1; 0,15, …) и количества полученных степеней свободы: χ²=(α; r).

Если χ²_набл < χ², тогда гипотеза о нормальном распределении опытных наблюдений подтверждена.