- •2. Алгебра событий. Основные операции над событиями. Теорема сложения вероятностей. Следствия.
- •3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Следствия. Независимость событий.
- •4. Использование формул комбинаторики при непосредственном вычислении вероятностей событий.
- •5. Формула полной вероятности и Байеса.
- •6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •7. Дискретная случайная величина. Ряд распределения. Функция распределения.
- •8. Числовые характеристики дискретной св.
- •3. Среднее квадратическое отклонение
- •9. Биномиальное распределение. Частная теорема о повторении опытов. Примеры.
- •1 0. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Формула Пуассона для потока событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •11. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность вероятности. Их свойства.
- •12. Числовые характеристики непрерывной св. М(х), d(X), σx, их свойства.
- •13. Равномерный закон распределения.
- •15. Показательный закон распределения вероятностей. Определение, графики плотности вероятности и функции распределения. Основные характеристики.
- •17. Числовые характеристики системы двух св. Корреляционный момент. Коэффицент корреляции.
- •18. Теоремы о числовых хар-ках, их применение.
- •19. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство Чебышева, неравенство Маркова. Закон Больших чисел (теорема Чебышева).
- •21. Центральная предельная теорема и особая роль нормального распределения. Формулы для практического применения теории вероятностей (интегральная теорема Муавра-Лапласа).
- •22. Основные понятия математич. Статистики. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения. Статистический ряд. Полигон. Гистограмма.
- •23. Точечные оценки параметров распределения. Требования, предъявляемые к точечным оценкам. Оценки для м(х), d(X) и сдо.
- •24. Метод моментов для получения точечных оценок. Выравнивание статистических рядов.
- •25. Интервальные оценки. Доверительные интервалы.
- •26. Статистические гипотезы. Основные понятия (основная и альтернативная гипотеза, критическая область, доверительная вероятность). Проверка статистических гипотез.
- •27. Проверка статистических гипотез. Гипотеза о неизвестном среднем при известной дисперсии на примере нормального распределения.
- •Проверка статистической гипотезы о матожидании нормального распределения при известной дисперсии
- •28. Важнейшие распределения в математической статистике: распределение хи-квадрат, распределение Стьюдента.
- •29. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона
27. Проверка статистических гипотез. Гипотеза о неизвестном среднем при известной дисперсии на примере нормального распределения.
Проверка статистических гипотез – см. вопрос 26.
Проверка статистической гипотезы о матожидании нормального распределения при известной дисперсии
Пусть имеется нормально распределенная СВ . D = 2. Матожидание M неизвестно. Допустим, что M = a, где a – некоторое число. Будем считать также, что имеется другая информация, указывающая на то, что M = a1, где a1 > a.
Выдвигаем нулевую гипотезу H0:M=a; при конкурирующей гипотезе H1:M=a1
Делаем выборку объема n: x1, x2,..., xn . В основе проверки лежит тот факт, что СВ (выборочная средняя) распределена по нормальному закону с дисперсией 2/n и математическим ожиданием, равным a в случае справедливости H0, и равным a1 в случае справедливости H1.
В качестве статистического критерия выбирается случайная величина z=( -a)(√n)/σ, распределенная по нормальному закону.
По принятому уровню значимости (ошибка 1 рода) (например = 0,05), используя то, что случайная величина z имеет НЗР, определим значение Kкр :
= P(Kкр < z <) = () – (Kкр) = 0,5 – (Kкр).
Отсюда, Ф(Kкр)=(1–2)/ и осталось воспользоваться таблицей функции Лапласа для нахождения числа Kкр.
Если в задаче поставить другое условие: H0:M = a; H1: M = a1 , a1 < a, то критическая область здесь левосторонняя.
Рассмотрим теперь такую задачу: H0: M=a; H1: Ma.
В данном случае большие отклонения величины z от нуля в положительную или отрицательную сторону должны приводить к заключению о ложности гипотезы H0, то есть здесь следует рассматривать двустороннюю критическую область. Критическое значение Kкр определяется с помощью соотношения P(Kкр<z<Kкр) =1–=(Kкр)–(–Kкр)=2(Kкр). Из этого соотношения следует: (Kкр)= (1–)/.
Нулевая Г. |
Предположения |
Статистика критерия |
Альтернативная гипотеза |
Критерий отклонения гипотезы |
a=a0 |
σ2 неизвестна |
t=(x-a0)*√n/σ |
a=a1>a0 a=a1<a0 |
|t|>t1-2α |
a=a1≠a0 |
|t|>t1-α |
|||
a=a0 |
σ2 известна |
t=(x-a0)*(√n-1)/σ |
a=a1>a0 a=a1<a0 |
|t|>t1-2α, n-1 |
a=a1≠a0 |
|t|>t1-α, n-1 |
28. Важнейшие распределения в математической статистике: распределение хи-квадрат, распределение Стьюдента.
Распределение χ2 (хи-квадрат) с n степенями свободы — это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных СВ.
Пусть Uk, – набор из n независимых нормально распределенных СВ, Uk~N(0;1). Тогда СВ имеет распределение хи-квадрат (χ2-распределение) с n степенями свободы, что обозначается как Xn~χ2(n).
Свойства распределения хи-квадрат:
1) СВ Xn имеет следующую плотность распределения:
, где – гамма-функция. Графики функций f(x,n), называемые кривыми Пирсона, ассиметричны и начиная с n>2 имеют один максимум в точке x=n-2:
2) Характеристическая функция СВ Xn имеет вид
3) СВ Xn имеет следующие моменты: М(Xn)=n, D(Xn)=2n.
4) Сумма любого числа m независимых СВ Xk, , имеющих распределение хи-квадрат с nk степенями свободы, имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.
5) Распределение хи-квадрат обладает свойством асимптотической нормальности: , где СВ U имеет распределение N(0;1). Это означает, что при достаточно большом объеме n выборки можно приближенно считать Xn~N(n;2n). Фактически эта аппроксимация имеет место уже при n≥30.
Распределение Стьюдента
Распределение Стьюдента – это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Пусть U и Xn - независимые СВ, U~N(0;1), Xn~χ2(n). Тогда СВ Tn=U/(√Xn/n) имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, что обозначают как Tn~S(n).
Свойства распределения Стьюдента:
1) СВ Tn имеет плотность распределения
Графики плотностей f(t,n), называемые кривыми Стьюдента, симметричны при всех n=1,2,… относительно оси ординат:
2) СВ Tn имеет матожидание, равное M(Tn)=0 для всех n≥2, и дисперсию D(Tn)=n/(n-2) при n>2. При n=2 дисперсия D(Tn)=+∞.
3) При n→∞ распределение S(n) асимптотически нормально, т.е. Tn→U, где СВ U имеет распределение N(0;1). При n≥30 распределение С. S(n) практически не отличается от N(0;1).
Распределение χ2 (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.
Пусть X1….Хk совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть:
Тогда случайная величина имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы, обозначаемое
З амечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения:
Следовательно, плотность распределения хи-квадрат имеет вид
а его функция распределения
Плотность вероятности: Функция распределения
Распределение Стьюдента
Распределение Стьюдента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Пусть Y0 ,Y1, ………Yn независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что
Тогда распределение случайной величины t, где называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Пишут Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность где — гамма-функция Эйлера.
Свойства распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента симметрично. В частности если то
Плотность вероятности: Функция распределения: