- •1. Сутність поняття “модель”. Особливості математичної моделі.
- •3. Особливості і принципи математичного моделювання. Узагальнена схема математичного моделювання.
- •4. Поняття економіко-математичної моделі. Узагальнена схема процесу математичного моделювання економічних процесів. Особливості процесу математичного моделювання економічних систем.
- •5. Особливості економічних спостережень і вимірів.
- •6. Охарактеризуйте основні етапи економіко-математичного моделювання.
- •7. Сутність адекватності економіко-математичних моделей. Перевірка адекватності моделі.
- •8. Основні засади щодо класифікації економіко-математичних моделей. Наведіть приклади та дайте відповідні пояснення.
- •9. Сутність аналітичного та комп’ютерного моделювання.
- •10. Роль прикладних економіко-математичних досліджень.
- •11. «Павутиноподібна» модель. Гіпотези, що приймаються в моделі.
- •12. Стійка рівновага у «павутиноподібній» моделі. Умови існування стійкої рівноваги у «павутиноподібній» моделі.
- •13. Постановка задачі економіко-математичного моделювання. Сутність понять: «параметри», «змінні», «цільова функція», «система обмежень», «оптимальний план».
- •14. Предмет математичного програмування. Приклади економічних задач математичного програмування.
- •15. Багатокритеріальна оптимізація економічних систем.
- •16. Классифікація задач математичного програмування.
- •17. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування.
- •18. Форми запису задачі лінійного програмування, охарактеризувати їх. Навести відповідні формули.
- •19. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування. Властивості розв’язків задачі лінійного програмування.
- •Перехід від одного опорного плану до іншого
- •21. Алгоритм графічного методу розв’язування задач лінійного програмування.
- •23. 24. Умова оптимальності розв’язку задачі лінійного програмування симплекс-методом. Алгоритм симплексного методу. Навести відповідні формули.
- •25. Метод штучного базису. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.
- •26. Двоїста задача. Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі. Навести відповідні формули.
- •27. Економічний зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.
- •28. Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.
- •29. Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні задач лінійного програмування. Навести відповідні формули.
- •30. Цілочислове програмування. Приклади застосування цілочислових задач в плануванні й управлінні виробництвом. Навести відповідні формули.
- •31. Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програмування.
- •32. Загальна характеристика методів розв’язування задач цілочислового програмування.
- •33. Сутність цілочислового програмування. Графічний метод розв’язування задач цілочислового програмування.
- •34. Методи відтинання. Метод Гоморі. Навести відповідні формули.
- •35. Комбінаторні методи. Метод гілок і меж. Навести відповідні формули.
- •36. Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.
- •38. Основні труднощі розв’язування задач нелінійного програмування.
- •39. Графічний метод розв’язування задач нелінійного програмування.
- •40.41. Метод множників Лагранжа пошуку умовного екстремуму функції. Визначення типу екстремуму. Навести відповідні формули.
- •42. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум. Визначення типу екстремуму. Навести відповідні формули.
- •43. Поняття про опуклі функції
- •Опуклі й угнуті функції
- •44. Сідлова точка та необхідні умови її існування. Навести відповідні формули.
- •45. Градієнтні методи розв’язання задач нелінійного програмування. Метод Франка-Вульфа розв’язування задачі нелінійного програмування. Навести відповідні формули.
- •46. Постановка зад.Динам.Прогр. Та її геометрична інтерпретація
- •47.Принцип оптимальності та алгоритм динамічного програмування.
- •50.Основні поняття та завдання теорії ігор.
- •52.Геом.Інтерпретація гри 2х2
- •54. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування.
44. Сідлова точка та необхідні умови її існування. Навести відповідні формули.
Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа у (n+m)-вимірному просторі змінних за довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних розглянуто в п.9.4).
Розглянемо нелінійну задачу:
,
.
Причому на компоненти векторів накладено обмеження на знаки. Позначимо множину точок, що задовольняють такі обмеження, через .
Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:
= . (9.12)
Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа (9.12), якщо для всіх виконується співвідношення:
. (9.13)
Для диференційовних функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки.
Сідлова точка функції виду (9.12) за означенням задовольняє умову:
.
Нерівність виконується для всіх точок Х, тобто також і для тих, у яких лише одна координата відрізняється від Х*. Допустимо, що це хk, а всі інші збігаються з координатами сідлової точки .
Оскільки права частина нерівності є фіксованою, а в лівій частині змінюється лише одна координата хk, то приходимо до функції однієї змінної , яку можна зобразити графічно на координатній площині.
Розглянемо спочатку випадок, коли , тобто лише частину координатної площини, для якої .
Можливі такі випадки:
1) коли всі , то максимальне значення функції L(xk) досягатиметься в точці, для якої (рис.9.5).
Рисунок 9.5
2) коли максимум функції L(xk) досягатиметься в точці і розглядувана частинна похідна також дорівнюватиме нулю: (рис.9.6).
Рисунок 9.6
3) коли точка максимуму функції L(xk) досягатиметься також у точці , а частинна похідна (рис.9.7).
Рисунок 9.7
Узагальнюючи всі три ситуації, маємо:
для
та
.
Розглядаючи другу частину нерівності (9.13):
аналогічними міркуваннями, що проілюстровані рис.9.8-9.9, встановлюються необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці.
Рисунок 9.8 Рисунок 9.9
Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки:
для тих індексів j, де . (9.14)
Зауважимо, що для маємо ті самі випадки, які зображено на рис.9.5-9.9, причому графіки будуть симетрично відображені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:
для тих індексів j, де . (9.15)
І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак хj умови не накладаються, то необхідною умовою є:
, – довільного знака. (9.16)
Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння:
. (9.17)
Розглядаючи другу частину нерівності (9.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:
для тих індексів і, де , (9.18)
для тих індексів і, де , (9.19)
для тих індексів і, де має довільний знак. (9.20)
Отже, справджується рівняння:
. (9.21)
Сукупність співвідношень (9.14)-(9.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів .