- •1. Сутність поняття “модель”. Особливості математичної моделі.
- •3. Особливості і принципи математичного моделювання. Узагальнена схема математичного моделювання.
- •4. Поняття економіко-математичної моделі. Узагальнена схема процесу математичного моделювання економічних процесів. Особливості процесу математичного моделювання економічних систем.
- •5. Особливості економічних спостережень і вимірів.
- •6. Охарактеризуйте основні етапи економіко-математичного моделювання.
- •7. Сутність адекватності економіко-математичних моделей. Перевірка адекватності моделі.
- •8. Основні засади щодо класифікації економіко-математичних моделей. Наведіть приклади та дайте відповідні пояснення.
- •9. Сутність аналітичного та комп’ютерного моделювання.
- •10. Роль прикладних економіко-математичних досліджень.
- •11. «Павутиноподібна» модель. Гіпотези, що приймаються в моделі.
- •12. Стійка рівновага у «павутиноподібній» моделі. Умови існування стійкої рівноваги у «павутиноподібній» моделі.
- •13. Постановка задачі економіко-математичного моделювання. Сутність понять: «параметри», «змінні», «цільова функція», «система обмежень», «оптимальний план».
- •14. Предмет математичного програмування. Приклади економічних задач математичного програмування.
- •15. Багатокритеріальна оптимізація економічних систем.
- •16. Классифікація задач математичного програмування.
- •17. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування.
- •18. Форми запису задачі лінійного програмування, охарактеризувати їх. Навести відповідні формули.
- •19. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування. Властивості розв’язків задачі лінійного програмування.
- •Перехід від одного опорного плану до іншого
- •21. Алгоритм графічного методу розв’язування задач лінійного програмування.
- •23. 24. Умова оптимальності розв’язку задачі лінійного програмування симплекс-методом. Алгоритм симплексного методу. Навести відповідні формули.
- •25. Метод штучного базису. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.
- •26. Двоїста задача. Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі. Навести відповідні формули.
- •27. Економічний зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.
- •28. Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.
- •29. Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні задач лінійного програмування. Навести відповідні формули.
- •30. Цілочислове програмування. Приклади застосування цілочислових задач в плануванні й управлінні виробництвом. Навести відповідні формули.
- •31. Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програмування.
- •32. Загальна характеристика методів розв’язування задач цілочислового програмування.
- •33. Сутність цілочислового програмування. Графічний метод розв’язування задач цілочислового програмування.
- •34. Методи відтинання. Метод Гоморі. Навести відповідні формули.
- •35. Комбінаторні методи. Метод гілок і меж. Навести відповідні формули.
- •36. Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.
- •38. Основні труднощі розв’язування задач нелінійного програмування.
- •39. Графічний метод розв’язування задач нелінійного програмування.
- •40.41. Метод множників Лагранжа пошуку умовного екстремуму функції. Визначення типу екстремуму. Навести відповідні формули.
- •42. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум. Визначення типу екстремуму. Навести відповідні формули.
- •43. Поняття про опуклі функції
- •Опуклі й угнуті функції
- •44. Сідлова точка та необхідні умови її існування. Навести відповідні формули.
- •45. Градієнтні методи розв’язання задач нелінійного програмування. Метод Франка-Вульфа розв’язування задачі нелінійного програмування. Навести відповідні формули.
- •46. Постановка зад.Динам.Прогр. Та її геометрична інтерпретація
- •47.Принцип оптимальності та алгоритм динамічного програмування.
- •50.Основні поняття та завдання теорії ігор.
- •52.Геом.Інтерпретація гри 2х2
- •54. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування.
42. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум. Визначення типу екстремуму. Навести відповідні формули.
У теорії дослідження функцій задача на відшукання екстремальних значень не містить ніяких додаткових умов щодо змінних і такі задачі належать до задач відшукання безумовного екстремуму функції. Локальний та глобальний екстремуми тоді визначаються з необхідних та достатніх умов існування екстремуму функції.
Нагадаємо, що необхідна умова існування локального екстремуму функції двох змінних формулюється так: для того, щоб точка була точкою локального екстремуму, необхідно, щоб функція була неперервною і диференційовною в околі цієї точки і перші частинні похідні за змінними та у цій точці дорівнювали нулю:
.
Точка називається критичною.
Достатня умова існування локального екстремуму функції двох змінних формулюється так: для того, щоб критична точка була точкою локального екстремуму, достатньо, щоб функція була визначена в околі критичної точки та мала в цій точці неперервні частинні похідні другого порядку.
Тоді, якщо
,
то в точці функція має екстремум, причому, якщо
,
тоді – точка локального максимуму функції , а якщо
,
тоді – точка локального мінімуму функції .
У разі, якщо
,
то в точці функція екстремуму не має.
Якщо
,
то питання про існування екстремуму залишається відкритим.
43. Поняття про опуклі функції
Теорема Куна-Таккера дає змогу встановити типи задач, для яких на множині допустимих розв’язків існує лише один глобальний екстремум зумовленого типу. Вона тісно пов’язана з необхідними та достатніми умовами існування сідлової точки.
Розглянемо задачу нелінійного програмування, яку, не зменшуючи загальності, подамо у вигляді:
, (9.22)
, (9.23)
. (9.24)
(Очевидно, що знак нерівності можна змінити на протилежний множенням лівої і правої частин обмеження на (– 1)).
Теорема 9.1. (Теорема Куна-Таккера). Вектор Х* є оптимальним розв’язком задачі (9.22)-(9.24) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що при для всіх точка є сідловою точкою функції Лагранжа ,
і функція мети для всіх угнута, а функції – опуклі.
Умови теореми Куна — Таккера виконуються лише для задач, що містять опуклі функції.
Опуклі й угнуті функції
Наведемо основні означення та теореми. Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rn. Функція , що задана на опуклій множині , називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-яких значень виконується співвідношення:
. (9.25)
Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго опуклою.
Функція , яка задана на опуклій множині , називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-якого справджується співвідношення:
. (9.26)
Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго угнутою.
Слід зазначити, що опуклість та угнутість функції визначаються лише відносно опуклих множин у , оскільки за наведеними означеннями разом з двома будь-якими точками та множині X належать також точки їх лінійної комбінації: для всіх значень , що можливо лише у разі, коли множина X є опуклою.
Теорема 9.2. Нехай – опукла функція, що задана на замкненій опуклій множині X, тоді будь-який локальний мінімум на цій множині є і глобальним.
Теорема 9.3. Нехай – опукла функція, що визначена на опуклій множині Х, і крім того, вона неперервна разом з частинними похідними першого порядку в усіх внутрішніх точках Х. Нехай – точка, в якій . Тоді в точці досягається локальний мінімум, що збігається з глобальним.
Як наслідок теореми можна показати, що коли Х замкнена, обмежена знизу, опукла множина, то глобального максимуму опукла функція f(X) досягає на ній у одній чи кількох точках (при цьому допускається, що в точці Х значення функції скінченне). Застосовуючи за розв’язування таких задач процедуру перебору крайніх точок, можна отримати точку локального максимуму, однак не можна встановити, чи є вона точкою глобального максимуму.
Для угнутих функцій отримані результати формулюють так. Нехай f(X) – угнута функція, що задана на замкненій опуклій множині . Тоді будь-який локальний максимум f(X) на множині Х є глобальним. Якщо глобальний максимум досягається в двох різних точках множини, то він досягається і на нескінченній множині точок, що лежать на відрізку, який сполучає ці точки. Для строго угнутої функції існує єдина точка, в якій вона досягає глобального максимуму.
Градієнт угнутої функції f(X) у точках максимуму дорівнює нулю, якщо f(X) – диференційовна функція. Глобальний мінімум угнутої функції, якщо він скінченний на замкненій обмеженій зверху множині, має досягатися в одній чи кількох її крайніх точках за умови скінченності функції f(X) у кожній точці цієї множини.